高考数学专题复习 3-7三角函数与解三角形 北师大版

2013年高考数学专题复习3-7三角函数与解三角形北师大版(时间：60分钟，满分：80分)一、选择题(共6小题，每小题5分，满分30分)1．(2011年辽宁高考)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝(　　)A．2B．2C.D.解析：由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB·(sin2A＋cos2A)＝sinA，sinB＝sinA，∴＝＝.答案：D2．(2012年上海卷)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是(　　)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定解析：∵sin2A＋sin2B＜sin2C∴由正弦定理得a2＋b2＜c2，即a2＋b2－c2＜0∴cosC＝＜0∴C为钝角∴△ABC为钝角三角形．答案：A3．(2011年天津高考)如图，在△ABC中，D是边上AC的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为(　　)A.　　　　　　B.C.D.解析：设AB＝c，则AD＝c，BD＝，BC＝，在△ABD中，由余弦定理得cosA＝＝，则sinA＝.在△ABC中，由正弦定理得＝＝，解得sinC＝，故选D.-5-\n答案：D4．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是、、，则此人将(　　)A．不能作出满足要求的三角形B．作出一个锐角三角形C．作出一个直角三角形D．作出一个钝角三角形解析：设三角形三边长为a，b，c.根据三角形面积相等得S＝a·＝c·＝b·，∴a＝26S，c＝10S，b＝22S.由大角对大边得26S对应的角最大，∴cosA＝＝－<0.又A∈(0，π)，∴∠A为钝角，∴D正确．答案：D5．(2012年安徽合肥)已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且面积S△ABC＝(b2＋c2－a2)，则A等于(　　)A．45°B．30°C．120°D．15°解析：由S△ABC＝(b2＋c2－a2)＝bcsinA，得sinA＝＝cosA，∴A＝45°.答案：A6．(2011年四川高考)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinB·sinC，则A的取值范围是(　　)A．(0，]B．[，π)C．(0，]D．[，π)解析：由已知及正弦定理，有a2≤b2＋c2－bc.而由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccosA，于是b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，可得cosA≥，注意到在△ABC中，0<A<π，故A∈(0，]．答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，共15分)7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝________.解析：由正弦定理得(sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，化简得sinBcosA＝sin(A＋C)．-5-\n∵0＜sinB≤1，∴cosA＝.答案：8．(2012年山东济南模拟)在△ABC中，sin2C＝sinAsinB＋sin2B，a＝2b，则角C＝________.解析：由题意及正弦定理得，c2＝ab＋b2，将a＝2b代入可得c＝b.根据余弦定理得cosC＝＝，所以C＝.答案：9．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．解析：根据＝得sinC＝sinB＝×＝，cosC＝＝，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sinBcosC＋cosBsinC＝×－×＝.因此S△ABC＝AB×AC×sinA＝×5×7×＝.答案：三、解答题(共3小题，满分35分)10．(2011年江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC.(1)求cosA的值；(2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值．解析：(1)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，两式相加，则有ccosB＋bcosC＝a，代入已知条件得3acosA＝a，即cosA＝.(2)由cosA＝得sinA＝，则cosB＝－cos(A＋C)＝－cosC＋sinC，-5-\n代入cosB＋cosC＝，得cosC＋sinC＝，从而得sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝，cosφ＝，0<φ<，则C＋φ＝，于是sinC＝，由正弦定理得c＝＝.11．(2012年皖南八校模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状；(2)若k＝1，求b的值．解析：(1)∵·＝·，·＝cbcosA，·＝bacosC，∴bccosA＝abcosC根据正弦定理，得sinCcosA＝sinAcosC即sinAcosC－cosAsinC＝0，∴sin(A－C)＝0，∴A＝C，即△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知a＝c，∴由余弦定理，得·＝bccosA＝bc·＝∵·＝k＝1∴＝1，得b＝.12．(2012年江西宜春)已知锐角△ABC中，角A、B、C对应边分别为a，b，c.tanA＝.(1)求A的大小；(2)求cosB＋cosC的取值范围．解析：(1)由余弦定理知，b2＋c2－a2＝2bccosA，∴tanA＝⇒sinA＝，∵A∈(0，)，∴A＝.(2)∵△ABC为锐角三角形且B＋C＝，-5-\n∴<B＝－C<cosB＋cosC＝cosB＋cos(－B)＝cosB＋coscosB＋sinsinB＝cosB＋sinB＝sin(B＋)∵<B＋<，∴<sin(B＋)≤1，即cosB＋cosC的取值范围是(，1]．-5-