2023高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题一三角函数与解三角形专题检测卷一三角函数与解三角形含解析202303112191

专题检测卷(一)　三角函数与解三角形(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·广州一模)sin80°cos50°＋cos140°sin10°＝(　　)A.－B.C.－D.解析　sin80°cos50°＋cos140°sin10°＝sin80°cos50°－sin50°·cos80°＝sin30°＝.故选D.答案　D2.(2020·长沙模拟)已知α为锐角，且cosα(1＋tan10°)＝1，则α的值为(　　)A.20°B.40°C.50°D.70°解析　由cosα(1＋tan10°)＝1，可得cosα＝1，即cosα＝1.所以cosα＝＝＝＝cos40°.又α为锐角，故α＝40°.故选B.答案　B3.(2020·重庆模拟)函数f(x)＝sincosx－cos22x的最小值为(　　)A.－2B.－1C.0D.解析　f(x)＝sincosx－cos22x＝－cos2x－cos22x＝－cos2x－(2cos2x－1)2＝－4cos4x＋3cos2x－1＝－4－.当cos2x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－2.故选A.答案　A4.(2020·湘赣皖十五校联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋2c＝2bcosA，则角B的大小为(　　)A.B.C.D.\n解析　法一　由正弦定理可得sinA＋2sinC＝2sinBcosA，即sinA＋2sin(A＋B)＝2sinBcosA，所以sinA(1＋2cosB)＝0.因为sinA>0，所以cosB＝－.又B∈(0，π)，所以B＝.故选A.法二　由余弦定理可得b2＋c2－2bccosA＝a2①，又a＋2c＝2bcosA②，所以②×c－①得a2＋c2－b2＝－ac.又由余弦定理可得cosB＝＝－，B∈(0，π)，所以B＝.故选A.答案　A5.已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)A.B.C.D.(0，2]解析　由<x<π得，＋<ωx＋<ωπ＋，又y＝sinx在上递减，所以令k＝0，得≤ω≤，故选A.答案　A6.某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°的方向上，距A12海里处，灯塔C在A的北偏西30°的方向上，距A8海里处，游轮由A处由正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°的方向上，则此时灯塔C与游轮的距离为(　　)A.20海里B.8海里C.23海里D.24海里解析　如图所示，在△ABD中，∠DAB＝75°，∠ADB＝60°，∴B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，\n∴AD＝＝＝24.在△ACD中，AD＝24，AC＝8，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝192，∴CD＝8.答案　B7.(2020·衡水中学调考)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)，若集合{x∈(0，π)|f(x)＝－1}含有4个元素，则实数ω的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析　函数f(x)＝sinωx－cosωx＝2＝2sin(ω>0).由集合{x∈(0，π)|f(x)＝－1}含有4个元素，得2sin＝－1，即sin＝－，即ωx－＝－＋2kπ(k∈Z)或ωx－＝＋2kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)或x＝＋(k∈Z).设直线y＝－1与y＝f(x)的图象在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA＝＋，xB＝＋.又直线y＝－1与y＝f(x)的图象在(0，π)上有且只有4个交点，则xA<π≤xB，即＋<π≤＋，得<ω≤.故选D.答案　D8.(2020·北京卷)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是(　　)\nA.3nB.6nC.3nD.6n解析　设单位圆的内接正6n边形的周长为C1，外切正6n边形的周长为C2，如图(1)所示，sin＝，∴BC＝sin，∴AB＝2sin，C1＝12nsin.如图(2)所示，tan＝，∴B′C′＝tan，∴A′B′＝2tan，C2＝12ntan.∴2π＝＝6n，∴π＝3n.故选A.答案　A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·泰安三校模拟)要得到y＝cos2x的图象C1，需将y＝sin的图象C2怎样变化(　　)A.将y＝sin的图象C2沿x轴方向向左平移个单位长度B.将y＝sin的图象C2沿x轴方向向右平移个单位长度C.先作图象C2关于x轴的对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位长度D.先作图象C2关于x轴的对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位长度解析　对于A，将y＝sin的图象C2沿x轴方向向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos2x的图象C1，正确；对于B，将y＝sin的图象C2沿x\n轴方向向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos2x的图象C1，正确；对于C，先作图象C2关于x轴对称的图象，得到y＝－sin的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位长度，得到y＝－sin＝－sin＝cos2x的图象C1，正确；对于D，先作图象C2关于x轴对称的图象，得到y＝－sin的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位长度，得到y＝－sin＝－sin＝－cos2x的图象，错误.故选ABC.答案　ABC10.(2020·青岛崂山区模拟)已知函数f(x)＝sinx·sin－的定义域为[m，n](m<n)，值域为，则n－m的值可能是(　　)A.B.C.D.解析　因为f(x)＝sinxsin－＝sinx－＝(1－cos2x)＋sin2x－＝＝sin，其值域为，所以sin∈，所以2x－∈，k∈Z，所以x∈，k∈Z.因为kπ＋－＝，k∈Z，所以n－m的最大值为，且n－m的最小值为.故选AB.答案　AB11.已知函数f(x)＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是(　　)A.函数f(x)的图象关于直线x＝对称B.函数f(x)的周期为\nC.点(π，0)是函数f(x)的图象的一个对称中心D.函数f(x)在区间上单调递增解析　因为函数f(x)＝|sinx||cosx|＝|sinxcosx|＝|sin2x|，画出函数图象，如图.由图可知，函数f(x)的对称轴是x＝，k∈Z，所以直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，A正确；函数f(x)的最小正周期是，B正确；函数f(x)是偶函数，其图象没有对称中心，C错误；函数f(x)在区间上单调递减，D错误.故选AB.答案　AB12.(2020·济南联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)满足f(x0)＝f(x0＋1)＝－，且f(x)在(x0，x0＋1)上有最小值，无最大值.则(　　)A.f＝－1B.若x0＝0，则f(x)＝sinC.f(x)的最小正周期为3D.f(x)在(0，2022)上的零点的个数最少为1346个解析　因为f(x0)＝f(x0＋1)＝－，且f(x)在(x0，x0＋1)上有最小值，无最大值，所以函数f(x)在区间(x0，x0＋1)的中点处取得最小值，即f＝－1，所以A正确；不妨令ωx0＋φ＝2kπ－π，k∈Z，ω(x0＋1)＋φ＝2kπ－，k∈Z，两式相减得ω＝，所以T＝＝3，B错误，C正确；因为T＝3，所以函数f(x)的图象在(0，2022)上恰好重复674次，当f(0)＝0，即φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)在区间(0，2022)上的零点个数至少为674×2－1＝1347(个)，D错误.故选AC.答案　AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2020·烟台诊断)已知tanα＝2，则cos＝________.解析　由题意，得cos＝－sin2α＝－2sinαcosα＝－＝\n－＝－＝－.答案　－14.(2020·广州一模)定义一种运算＝ad－bc，将函数f(x)＝的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值是________.解析　f(x)＝2cosx－2sinx＝4cos，依题意g(x)＝f(x＋φ)＝4cos是偶函数(其中φ>0).∴＋φ＝kπ，k∈Z，则φmin＝π.答案　15.(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析　如图，易知sin∠C＝，cos∠C＝.在△BDC中，由正弦定理可得＝，∴BD＝＝＝.由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，可得cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]＝sin(∠C＋∠BDC)＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC＝×＋×＝.答案　　16.(2020·新高考山东、海南卷)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB\n与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为______cm2.解析　如图，连接OA，过A作AP⊥EF，分别交EF，DG，OH于点P，Q，R.由题意知AP＝EP＝7cm，又DE＝2cm，EF＝12cm，所以AQ＝QG＝5cm，所以∠AHO＝∠AGQ＝.因为OA⊥AH，所以∠AOH＝，所以∠AOB＝.设AR＝xcm，则OR＝xcm，RQ＝(5－x)cm.因为tan∠ODC＝，所以tan∠ODC＝＝，解得x＝2，则OA＝2cm.所以S＝S扇形AOB＋S△AOH－S小半圆＝××(2)2＋×4×2－π×12＝＋4(cm2).答案　＋4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2020·青岛模拟)在①B＝，②a＝2，③bcosA＋acosB＝＋1这三个条件中任选一个，补充至横线上，并解决相应问题.已知在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝，且________，求△ABC的面积S的大小.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)\n解　因为4S＝b2＋c2－a2，cosA＝，S＝bcsinA，所以2bcsinA＝2bccosA.显然cosA≠0，所以tanA＝1.又A∈，所以A＝.选择①B＝.由＝，得a＝＝2.又sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，所以S＝absinC＝.选择②a＝2.由＝，得sinB＝＝.因为B∈，所以cosB＝.又sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，所以S＝absinC＝.选择③bcosA＋acosB＝＋1.由b＝，A＝，得acosB＝1，即a·＝1.所以a2＝6＋2c－c2.又a2＝6＋c2－2c·＝6＋c2－2c，所以6＋2c－c2＝6＋c2－2c，解得c＝＋1(c＝0舍去).所以S＝bc·sinA＝.18.(本小题满分12分)(2020·北京海淀区调研)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，函数f(x)的图象上两相邻对称轴之间的距离为，________.(1)在①函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x＝－，②函数f(x)的图象的一个对称中心为点，③函数f(x)的图象经过点这三个条件中任选一个补充至横线上，然后确定函数的解析式；\n(2)若动直线x＝t，t∈[0，π]与函数f(x)和函数g(x)＝2sinxcosx的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值及此时t的值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解　(1)函数f(x)的图象上两相邻对称轴之间的距离为，得该函数的最小正周期T＝2×＝π，∴ω＝＝＝2，此时f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.若选①函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x＝－，则－＋φ＝＋kπ(k∈Z)，得φ＝＋kπ(k∈Z).∵|φ|<，∴当k＝－1时，φ＝，此时f(x)＝2sin＋1.若选②函数f(x)的图象的一个对称中心为点，则＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－(k∈Z).∵|φ|<，∴当k＝1时，φ＝，此时f(x)＝2sin＋1.若选③函数f(x)的图象经过点，则f＝2sin＋1＝0，得sin＝－.∵|φ|<，∴<＋φ<，∴＋φ＝，解得φ＝，此时f(x)＝2sin＋1.(2)由(1)可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin＋1.令h(x)＝f(x)－g(x)＝2sin＋1－2sinxcosx＝2＋1－sin2x＝cos2x＋1≥0，∴|PQ|＝h(t)＝cos2t＋1.\n∵t∈[0，π]，∴2t∈[0，2π]，当2t＝0或2t＝2π，即当t＝0或t＝π时，线段PQ的长取到最大值2.19.(本小题满分12分)(2020·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝5，c＝.(1)求角C的大小；(2)求sinA的值；(3)求sin的值.解　(1)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，b＝5，c＝，有cosC＝＝.又因为C∈(0，π)，所以C＝.(2)在△ABC中，由正弦定理及C＝，a＝2，c＝，可得sinA＝＝.(3)由a＜c及sinA＝，可得cosA＝＝，进而sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A－1＝.所以sin＝sin2Acos＋cos2Asin＝×＋×＝.20.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sinAsinB＝2＋.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值.解　(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋，化简得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝，故cos(A＋B)＝－.所以A＋B＝，从而C＝.\n(2)因为S△ABC＝absinC，由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝.21.(本小题满分12分)(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.解　(1)由题设及正弦定理得sinAsin＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sin＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝acsinB＝a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.结合A＋C＝120°，得30°<C<90°，所以<a<2，从而<S△ABC<.因此，△ABC面积的取值范围是.22.(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b＋c＝acosC＋asinC.(1)求A；(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值.解　(1)由条件及正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC＝sinB＋sinC，因为B＝π－(A＋C)，所以sinAsinC－cosAsinC＝sinC，又sinC≠0，所以sinA－cosA＝1，\n所以sin＝，又0<A<π，所以A＝.(2)法一　由(1)得B＋C＝，从而C＝－B，0<B<，由正弦定理得＝＝＝＝，所以b＝sinB，c＝sinC.所以S△ABC＝bcsinA＝×sinB×sinC×sin＝·sinB·sin＝·sinB·＝4sin2B－cos2B＋.＝sin＋.因为－<2B－<，所以当2B－＝，即B＝时，S△ABC取得最大值，最大值为4.法二　由(1)知A＝，又a＝4，由余弦定理得16＝b2＋c2－2bccos，即b2＋c2－bc＝16，因为b2＋c2≥2bc，所以2bc－bc≤16，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时取等号.所以S△ABC＝bcsinA＝×bc≤×16＝4，所以S△ABC的最大值为4.