高考数学专题复习 3-8三角函数与解三角形 北师大版

2013年高考数学专题复习3-8三角函数与解三角形北师大版(时间：60分钟，满分：80分)一、选择题(共6小题，每小题5分，满分30分)1．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是(　　)A．α，a，b　　　　　　　B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似．答案：A2．小强站在地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为(　　)A．α＋βB．α－βC．β－αD．α解析：如图，设小强站在A处，CD表示山顶建筑物，C为山顶，则∠DAC＝α，∠DAB＝β，所以小强观测山顶的仰角为∠CAB＝β－α.答案：C3．(2012年青岛模拟)从高出海面hm的小岛A处看正东方向有一只船B，俯角为30°，看正南方向的一船C的俯角为45°，则此时两船间的距离为(　　)A．2hmB.hmC.hmD．2hm解析：如图AO＝h，∠OAB＝60°，∠OAC＝45°，∴CO＝h，BO＝h，∴BC＝2h.答案：A4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时(　　)A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是＝10(海里/小时)．答案：C5．(2012年铜陵一中月考)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c-4-\n成等比数列，且a＋c＝3，tanB＝，则△ABC的面积为(　　)A.B.C.D.解析：因为a、b、c成等比数例，所以b2＝ac.又b2＝a2＋c2－2accosB，a＋c＝3，tanB＝，故得sinB＝，cosB＝，ac＝2.所以S△ABC＝acsinB＝×2×＝.答案：A6．(2012年河南十校联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若cosB＝，＝2，且S△ABC＝，则b＝(　　)A．4B．3C．2D．1解析：依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(2a)2－2×a×2a×＝4a2，所以b＝c＝2a，sinB＝＝，又S△ABC＝acsinB＝××b×＝，所以b＝2，选C答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．(2012年南京第一次调研)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处．则两艘轮船之间的距离为________海里．解析：由题图知，连接AC.则AC＝5，在△ACD中，AD＝3，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝.答案：8．(2012年厦门质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．解析：由图知，连接OC，在三角形OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17500，∴OC＝50.答案：50-4-\n9．(2012年江西模拟)如图，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高为60m，在地面上有一点A，测得A、C间的距离为100米，从A观测电视发射塔的视角45°(∠CAD＝45°)，则这座电视发射塔的高度是____________m.解析：在Rt△ABC中，AB＝＝80∴设∠CAB＝θ，发射塔高为xm，则tanθ＝，则tan(45°＋θ)＝∴＝，∴x＝500.答案：500三、解答题(共3小题，满分35分)10．如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．解析：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为AB＝＝a.11．(2012年晋中模拟)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12nmile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离．解析：(1)如图，在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，B＝45°.由正弦定理得AD＝＝＝24(nmile)(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°，-4-\n解得CD＝8nmile.所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为8nmile.12．(2012年郑州第一次质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)解析：由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－×340＝x－40，在△ABC中，由余弦定理得：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝140.答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米．-4-