2023高考数学一轮复习高考大题专项练二三角函数与解三角形文含解析北师大版202303232111

高考大题专项(二)　三角函数与解三角形1.(2020北京海淀一模,16)已知函数f(x)=2cos2ω1x+sinω2x.(1)求f(0)的值;(2)从①ω1=1,ω2=2;②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在-π2,π6上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.2.(2020山东潍坊二模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,A=π3.(1)若B=π4,求b;(2)求△ABC面积的最大值.3.(2020江苏,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=2,B=45°.(1)求sinC的值;(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-45,求tan∠DAC的值.\n4.(2019全国1,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sinC.5.(2020山东潍坊一模,17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(c-a,sinB),n=(b-a,sinA+sinC),且m∥n.(1)求C;(2)若6c+3b=3a,求sinA.6.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,S为△ABC的面积,sin(B+C)=2Sa2-c2.(1)证明:A=2C;(2)若b=2,且△ABC为锐角三角形,求S的取值范围.\n参考答案高考大题专项(二)　三角函数与解三角形1.解(1)f(0)=2cos20+sin0=2.(2)方案一:选条件①.f(x)的一个周期为π.f(x)=2cos2x+sin2x=(cos2x+1)+sin2x=222sin2x+22cos2x+1=2sin2x+π4+1.因为x∈-π2,π6,所以2x+π4∈-3π4,7π12.所以-1≤sin2x+π4≤1.所以1-2≤f(x)≤1+2.当2x+π4=-π2,即x=-3π8时,f(x)在-π2,π6上取得最小值1-2.方案二:选条件②.f(x)的一个周期为2π.f(x)=2cos2x+sinx=2(1-sin2x)+sinx=-2sinx-142+178.因为x∈-π2,π6,\n所以sinx∈-1,12.所以-1≤f(x)≤178.当sinx=-1,即x=-π2时,f(x)在-π2,π6上取得最小值-1.2.解(1)由正弦定理得b=a·sinBsinA=23·sinπ4sinπ3=22.(2)因为△ABC的内角和A+B+C=π,A=π3,所以0<B<2π3.因为b=asinAsinB=4sinB,所以S△ABC=12absinC=43sinBsin2π3-B=43sinB32cosB+12sinB=6sinBcosB+23sin2B=23sin2B-π6+3.因为0<B<2π3,所以-π6<2B-π6<7π6.当2B-π6=π2,即B=π3时,△ABC面积取得最大值33.3.解(1)在△ABC中,因为a=3,c=2,B=45°,由余弦定理,得b2=9+2-2×3×2cos45°=5,所以b=5.在△ABC中,由正弦定理,得5sin45°=2sinC,所以sinC=55.(2)在△ADC中,因为cos∠ADC=-45,所以∠ADC为钝角,而∠ADC+∠C+∠CAD=180°,所以∠C为锐角.故cosC=1-sin2C=255,则tanC=sinCcosC=12.因为cos∠ADC=-45,所以sin∠ADC=1-cos2∠ADC=35,tan∠ADC=sin∠ADCcos∠ADC=-34.从而tan∠DAC=tan(180°-∠ADC-∠C)=-tan(∠ADC+∠C)=-tan∠ADC+tanC1-tan∠ADC×tanC=--34+121--34×12=211.4.解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120°-C)=2sinC,即62+32cosC+12sinC=2sinC,\n可得cos(C+60°)=-22.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=22,故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=6+24.5.解(1)因为m∥n,所以(c-a)(sinA+sinC)=(b-a)sinB,由正弦定理得(c-a)(a+c)=(b-a)b,所以a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.因为C∈(0,π),故C=π3.(2)由(1)知B=2π3-A,由题设及正弦定理得6sinC+3sin2π3-A=3sinA,即22+32cosA+12sinA=sinA,可得sinA-π3=22.因为0<A<2π3,所以-π3<A-π3<π3,所以cosA-π3=22,故sinA=sinA-π3+π3=sinA-π3cosπ3+cosA-π3sinπ3=6+24.6.(1)证明由sin(B+C)=2Sa2-c2,即sinA=2Sa2-c2,得sinA=bc·sinAa2-c2,又sinA≠0,∴bc=a2-c2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,则bc=b2-2bccosA,又b≠0,∴c=b-2c·cosA,由正弦定理得sinC=sinB-2sinC·cosA,即sinC=sin(A+C)-2sinC·cosA=sin(A-C),又0<A<π,0<C<π,∴A=2C.(2)解∵A=2C,∴B=π-3C,∴sinB=sin3C,∵asinA=bsinB,且b=2,∴a=2sin2Csin3C,∴S=12ab·sinC=2sin2C·sinCsin(2C+C)=2sin2C·sinCsin2C·cosC+cos2C·sinC\n=2tan2C·tanCtan2C+tanC=4tanC3-tan2C=43tanC-tanC,∵△ABC为锐角三角形,则A∈0,π2,B∈0,π2,C∈0,π2,即2C∈0,π2,π-3C∈0,π2,解得C∈π6,π4,∴tanC∈33,1,∴S=43tanC-tanC为增函数,∴S∈32,2.