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河北省2022年中考数学复习三角形第23讲等腰三角形试题含解析
河北省2022年中考数学复习三角形第23讲等腰三角形试题含解析
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第23讲 等腰三角形1.(2022,河北)如图①,等边三角形ABD,等边三角形CBD的边长均为1,将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置,得到图②,则阴影部分的周长为2.第1题图【解析】如答图.∵等边三角形ABD,等边三角形CBD的边长均为1,将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置,∴A′M=A′N=MN,MO=DM=DO,OD′=D′E=OE,EG=EC=GC,B′G=RG=RB′,RB=RN=BN.∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′B′+CD=1+1=2.第1题答图2.(2022,河北)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40nmile的速度向正北方向航行,2h后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处,则N处与灯塔P间的距离为(D)第2题图A.40nmileB.60nmileC.70nmileD.80nmile【解析】根据题意,得MN=2×40=80(nmile).∵∠M=70°,∠N=40°,∴∠NPM=180°-∠M-∠N=180°-70°-40°=70°.∴∠NPM=∠M.∴NP=MN=80nmile.3.(2022,河北)如图,边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图),则的值为(C)第3题图A.3B.4C.5D.6【解析】如答图.因为六边形是正六边形,所以△OAC是边长为a的等边三角形,即两个空白三角形的面积等于S△OAC,即=5.11\n第3题答图4.(2022,河北)如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有(D)第4题图A.1个B.2个C.3个D.3个以上【解析】只需要满足∠MPN=60°即可.如答图,过点P作PC⊥OB于点C,PD⊥OA于点D,则PC=PD,∠DPC=360°-90°×2-120°=60°.∵∠DPC=∠DPM+∠MPC=60°,∠MPN=∠MPC+∠CPN=60°,∴∠DPM=∠CPN.在△DPM和△CPN中,∴△DPM≌△CPN.∴PM=PN.∴∠PMN=∠PNM.∵∠MPN=60°,∴△PMN为等边三角形,而满足∠MPN=60°的△PMN有无数个.第4题答图 等腰三角形的性质例1等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°,则这个等腰三角形的底角为(C)A.70°B.20°C.20°或70°D.40°或140°【解析】本题分两种情况.①如答图①,当该等腰三角形为钝角三角形时,∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°,∴底角=×(90°-50°)=20°.②如答图②,当该等腰三角形为锐角三角形时,∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°,∴底角=×[180°-(90°-50°)]=70°.综上所述,这个等腰三角形的底角为20°或70°.11\n例1答图针对训练1(2022,无锡模拟)若等腰三角形的顶角为80°,则它的一个底角的度数为(B)A.20°B.50°C.80°D.100°【解析】∵等腰三角形的顶角为80°,∴它的一个底角为(180°-80°)÷2=50°.针对训练2(2022,钦州二模)若一个等腰三角形的三边长分别为x,3,2x-1,则这个等腰三角形的周长为__11或8__.【解析】当x=3时,2x-1=5.∵3+3>5,∴能组成三角形.此时三角形的周长为3+3+5=11.当x=2x-1时,x=1.∵1+1<3,∴不能组成三角形.当2x-1=3时,x=2.∵3+2>3,∴能组成三角形.此时三角形的周长为3+3+2=8.综上所述,这个等腰三角形的周长为11或8. 等腰三角形的判定例2(2022,桂林)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是3.例2题图【解析】∵AB=AC,∠A=36°,∴△ABC是等腰三角形,∠ABC=∠C==72°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=36°.∵在△ABD中,∠A=∠ABD=36°,∴△ABD是等腰三角形.∵∠ABD=∠A=36°,∴∠BDC=72°.∵在△BDC中,∠C=∠BDC=72°,∴△BDC是等腰三角形.所以共有3个等腰三角形.针对训练3(导学号5892921)如图,在△ABC中,BC=4,BD平分∠ABC,过点A作AD⊥BD于点D,过点D作DE∥CB,分别交AB,AC于点E,F.若EF=2DF,则AB的长为(B)训练3题图A.4B.6C.8D.10【解析】如答图,延长AD,BC交于点G.∵BD平分∠ABC,AD⊥BD,∴∠BAD=∠G.∴AB=BG.∴D是AG的中点.∵DE∥BG,∴E是AB的中点,F是AC的中点.∴DE是△ABG的中位线,EF是△ABC的中位线.∴EF=BC=2.∵EF=2DF,∴DF=1.∴DE=3.∴BG=2DE=6.∴AB11\n=6.训练3答图 等边三角形的性质与判定例3(导学号5892921)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内的两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=6cm,DE=2cm,则BC的长为(C)例3题图A.4cm B.6cm C.8cm D.12cm【解析】如答图,延长ED交BC于点M,延长AD交BC于点N.∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN.∵∠EBC=∠E=60°,∴∠EMB=60°.∴△BEM为等边三角形,∠NDM=30°.∴BE=BM=EM.∵BE=6cm,DE=2cm,∴DM=4cm.∴NM=2cm.∴BN=4cm.∴BC=2BN=8(cm).例3答图针对训练4如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(0,),B(-1,0),平行于AB的直线l交y轴于点C.若直线l上存在点P,使得△PAB是等边三角形,则点C的坐标为(C)训练4题图A.(1,0)或(-,0)B.(0,1)或(0,-)C.(0,-)或(0,3)D.(-,0)或(,)【解析】如答图.∵A(0,),B(-1,0),∴OA=,OB=1.∴tan∠ABO=.∴∠ABO=60°.∴AB=2OB=2.在x轴的正半轴上取一点P(1,0),连接PA,则△APB是等边三角形.易得直线AB的解析式为y=x+,∴直线PC的解析式为y=x-.∴C(0,-).作点P关于直线AB的对称点P′(-2,),过点P′平行于AB的直线的解析式为y=x+3,∴可得C′(0,3).综上所述,满足条件的点C的坐标为(0,-)或(0,311\n).训练4答图一、选择题1.(2022,宿迁)若实数m,n满足等式|m-2|+=0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的两边长,则△ABC的周长是(B)A.12B.10C.8D.6【解析】∵|m-2|+=0,∴m-2=0,n-4=0.解得m=2,n=4.当m=2为腰长时,三边长为2,2,4,不符合三边关系.当n=4为腰长时,三边长为2,4,4,符合三边关系,所以周长为2+4+4=10.2.如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=70°30′,则∠2的度数是(D)第2题图A.40°30′B.39°30′C.40°D.39°【解析】∵AB∥CD,∴∠ACD=∠1=70°30′.∵AD=CD,∴∠CAD=∠ACD=70°30′.∴∠2=180°-∠ACD-∠CAD=180°-70°30′-70°30′=39°.3.(2022,石家庄模拟)如图,等腰三角形ABC的底边BC与底边上的高AD相等,高AD在数轴上,其中点A,D分别表示数轴上的实数-2,2,则AC的长为(C)第3题图A.2B.4C.2D.4【解析】∵点A,D分别表示实数-2,2,∴AD=4.∵等腰三角形ABC的底边BC与底边上的高AD相等,∴BC=4.∴CD=2.在Rt△ACD中,AC===2.4.(2022,连云港东海县二模)已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的函数,在下列图象中,能正确反映y与x之间函数关系的图象是(C)11\nABCD【解析】由题意,得2x+y=10.∴y=-2x+10.由三角形的三边关系,得解得2.5<x<5.所以正确反映y与x之间函数关系的图象是选项C.5.(2022,保定模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=6,由作图痕迹可得DE的长为(B)第5题图A.2B.3C.4D.6【解析】由作图,可知AD=BD=3,AE平分∠BAC.∵AB=AC,∴∠AEB=90°.∴DE=AD=BD=3.6.(2022,湖州)如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是(B)第6题图A.20°B.35°C.40°D.70°【解析】∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)=70°.∵CE是△ABC的角平分线,∴∠ACE=∠ACB=35°.7.(2022,福建A)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于(A)第7题图A.15°B.30°C.45°D.60°【解析】∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,∴∠ACB=60°,BD=CD,即AD是BC的垂直平分线.∵点E在AD上,∴BE=CE.∴∠EBC=∠ECB.∵∠EBC=45°,∴∠ECB=45°.∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°.8.(2022,兰州模拟,导学号5892921)如图,在⊙O内有折线OABC,其中OA=10,AB11\n=16,∠A=∠B=60°,则⊙O的半径为(B)第8题图A.13B.14C.16D.18【解析】如答图,延长AO交BC于点D,作OE⊥BC于点E,连接OB.∵∠A=∠ABC=60°,∴∠ADB=60°.∴△ADB为等边三角形.∴BD=AD=AB=16.∴OD=6.∵∠ADB=60°,∴DE=OD=3,OE=3.∴BE=13.∴OB2=OE2+BE2=27+169=196.∴OB=14.第8题答图二、填空题9.(2022,长春)如图,在△ABC中,AB=AC.以点C为圆心,以CB长为半径作圆弧,交AC的延长线于点D,连接BD.若∠A=32°,则∠CDB的度数为37°.第9题图【解析】∵AB=AC,∠A=32°,∴∠ABC=∠ACB=74°.∵BC=DC,∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°.10.(2022,乐山)如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,连接CE,则∠BCE的度数是22.5°.第10题图【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴∠CAB=∠ACB=45°.∵AC=AE,∴∠ACE=∠AEC=(180°-∠CAE)=67.5°.∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°.11.(2022,吉林)我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作k.若k=,则该等腰三角形的顶角的度数为36°.【解析】如答图.∵在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C.∵k=,∴∠A∶∠B=1∶2,即5∠A=180°.∴∠A=36°.11\n第11题答图12.(2022,娄底)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3cm,则BF=6cm.第12题图【解析】在Rt△ADB和Rt△ADC中,∴Rt△ADB≌Rt△ADC.∴S△ABC=2S△ABD=2×AB·DE=AB·DE=3AB.∵S△ABC=AC·BF,AC=AB,∴BF=3.∴BF=6.13.(2022,遵义)如图,在△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点.若∠CAE=16°,则∠B为37°.第13题图【解析】∵AD=AC,E是CD的中点,∴∠ADC=∠C,AE⊥CD.∴∠AEC=90°.∴∠ADC=∠C=90°-∠CAE=74°.∵AD=BD,∴∠B=∠BAD.∴2∠B=∠ADC=74°.∴∠B=37°.三、解答题14.(2022,唐山路南区三模)证明等腰三角形的判定方法:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,求证:AB=AC.第14题图【思路分析】根据等腰三角形的判定方法可知:已知缺少的条件为∠B=∠C,要证的结论为AB=AC.过点A作AD平分∠BAC,交BC于点D,由∠BAD=∠CAD,∠B=∠C及AD=AD可证出△ABD≌△ACD,再利用全等三角形的性质可证出AB=AC.解:∠C AC证明:如答图,过点A作AD平分∠BAC,交BC于点D.在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(AAS).11\n∴AB=AC.第14题答图15.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且BE=CF,BD=CE.(1)求证:△DEF是等腰三角形;(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数.第15题图【思路分析】(1)由AB=AC,得∠B=∠C.利用SAS证明△DBE≌△ECF,然后即可证明△DEF是等腰三角形.(2)根据∠A=40°可求出∠B=∠C=70°.根据△DBE≌△ECF,利用三角形内角和定理和平角定义即可求出∠DEF的度数.(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△DBE和△ECF中,∴△DBE≌△ECF.∴DE=EF.∴△DEF是等腰三角形.(2)解:如答图.∵△DBE≌△ECF,∴∠1=∠3,∠2=∠4.∵∠A=40°,∠A+∠B+∠C=180°,AB=AC,∴∠B=∠C=×(180°-40°)=70°.∴∠1+∠2=110°.∴∠3+∠2=110°.∴∠DEF=70°.第15题答图1.(2022,连云港模拟,导学号5892921)如图,在△ABC中,∠A=60°,BC为定长,以BC为直径的⊙O分别交AB,AC于点D,E,连接DE,DE=EC.下列结论:①BC=2DE;②BD+CE=2DE.其中一定正确的有(A)11\n第1题图A.2个B.1个C.0个D.无法判断【解析】如答图,连接CD,OD,则∠ADC=90°.∵∠A=60°,∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠DCE=60°.∵OD=OE,∴△DOE是等边三角形.∴DE=OD,即BC=2DE,①正确.∵DE=EC,∴∠COE=∠DOE=60°.∴∠BOD=60°.∴BD=DE=CE.∴BD+CE=2DE,②正确.第1题答图2.(2022,玉林)如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边三角形ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(A)第2题图A.平行B.相交 C.垂直D.平行、相交或垂直【解析】∵∠AOB=60°,OA=OB,∴△OAB是等边三角形.∴OA=AB,∠OAB=∠ABO=60°.①当点C在线段OB上时,如答图①.∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD,∠CAD=60°.∴∠OAC=∠BAD.在△AOC和△ABD中,∴△AOC≌△ABD.∴∠ABD=∠AOC=60°.∴∠DBE=180°-∠ABO-∠ABD=60°=∠AOB.∴BD∥OA.②当点C在OB的延长线上时,如答图②.同①的方法得出OA∥BD.第2题答图3.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在边AC上,且BD=DA=BC.(1)如图①,∠A=36°,∠C=72°;(2)如图②,若M为线段AC上的点,过点M作直线MH⊥BD于点H,分别交直线AB,BC于点N,E.①求证:△BNE是等腰三角形;②试写出线段AN,CE,CD之间的数量关系,并加以证明.11\n第3题图【思路分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠DBA=∠BDC=∠C,根据三角形的内角和定理即可得到结论.(2)①根据已知条件得到∠ABD=36°,∠CBD=36°,根据垂直的定义得到∠BHN=∠EHB=90°,根据全等三角形的性质即可得到结论.②由①知,BN=BE,根据线段的和差和等量代换即可得到结论.(1)解:36° 72°(2)①证明:∵BD=DA,∴∠ABD=∠A=36°.∵BD=BC,∴∠BDC=∠C=72°.∴∠CBD=36°.∵BH⊥EN,∴∠BHN=∠EHB=90°.在△BNH和△BEH中,∴△BNH≌△BEH.∴BN=BE.∴△BNE是等腰三角形.②解:CD=AN+CE.证明:由①知,BN=BE.∵AB=AC,∴AN=AB-BN=AC-BE.∵CE=BE-BC,∴AN+CE=AC-BC.∵BD=DA=BC,∴CD=AC-AD=AC-BC.∴CD=AN+CE.11
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