河北省2022年中考数学复习圆第29讲圆的基本性质试题含解析

第29讲　圆的基本性质1.(2022，河北)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(D)第1题图A.AE>BEB.弧AD＝弧BCC.∠D＝∠AECD.△ADE∽△CBE【解析】∵CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，∴AE＝BE，弧AC＝弧BC.∴A，B两选项错误．∵∠AEC不是圆心角，∴∠D≠∠AEC.∴C选项错误．∵∠AED＝∠CEB＝90°，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE∽△CBE.∴D选项正确．2.(2022，河北)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F.下列三角形中，外心不是点O的是(B)第2题图A.△ABEB.△ACFC.△ABDD.△ADE【解析】只有△ACF的三个顶点不都在⊙O上，故外心不是点O的是△ACF.3.(2022，河北)如图所示的为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B)　第3题图A.△ACD的外心B.△ABC的外心C.△ACD的内心D.△ABC的内心【解析】由网格图，知点O是边AC，BC的垂直平分线的交点．根据三角形外心的定义，知点O是△ABC的外心．　圆的有关概念例1下列语句正确的是(D)A.长度相等的两条弧是等弧B.平分弦的直径垂直于弦C.相等的圆心角所对的弧相等D.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴13\n【解析】能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，所以B选项错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项错误．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D选项正确.针对训练1如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C.若点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为(A)训练1题图A.20°B.30°C.45°D.60°【解析】如答图，连接OD，则∠DOC＝70°－45°＝25°，∠AOD＝160°－70°＝90°.∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠A＝45°.∵∠ADO＝∠B＋∠DOB，∴∠B＝45°－25°＝20°.训练1答图针对训练2如图，点P在线段AB上，PA＝PB＝PC＝PD.当∠BPC＝60°时，∠BDC的度数为(B)训练2题图A.15°B.30°C.25°D.60°【解析】∵PA＝PB＝PC＝PD，∴点A，B，C，D在以点P为圆心，PB的长为半径的圆上．∴∠BDC＝∠BPC＝×60°＝30°.　确定圆的条件例2(2022，河北)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)　例2题图A.点PB.点QC.点RD.点M【解析】如答图，连接BC，作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点Q，则点Q13\n即为圆心．例2答图针对训练3在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－1，0)，点B的坐标是(3，0)，在y轴的正半轴上取一点C，使A，B，C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是(A)A.(0，)B.(，0)C.(0，2)D.(2，0)【解析】如答图，连接AC，CB.根据题意可证得△AOC∽△COB，∴＝，即OC2＝OA·OB.∴OC2＝1×3＝3.解得OC＝.故点C的坐标为(0，).训练3答图针对训练4如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C，D，E三点，且此圆分别与AD，BC相交于P，Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：甲：连接DE，EC，作∠DEC的平分线EM，作DE的垂直平分线，交EM于点O，则点O即为所求．乙：连接PC，QD，两线段交于一点O，则点O即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(A)训练4题图A.两人皆正确B.两人皆错误C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确【解析】对于甲，易知ED＝EC，∴△DEC为等腰三角形．进而易知EM为CD的垂直平分线．∴点O为两垂直平分线的交点，即点O为△CDE的外心．∴点O为此圆的圆心．对于乙，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，∴PC，QD为此圆的直径．∴PC与QD的交点O为此圆的圆心．因此甲、乙两人皆正确.　圆的基本性质例3(2022，石家庄裕华区模拟)如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，C是优弧AB13\n上一点(不与点A，B重合)，则cosC的值为(D)例3题图A.B.C.D.【解析】如答图，作直径AD，连接BD.∵AD为直径，∴∠ABD＝90°.在Rt△ABD中，∵AD＝10，AB＝6，∴BD＝＝8.∴cosD＝＝＝.∵∠C＝∠D，∴cosC＝.例3答图针对训练5(2022，石家庄模拟)如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.若DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长是(A)训练5题图A.8B.10C.11D.12【解析】如答图，作直径CF，连接BF，则∠FBC＝90°.∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠BAC＋∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF.∴弧DE＝弧BF.∴BF＝DE＝6.∴BC＝＝8.训练5答图针对训练6(2022，通辽)已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数为(D)A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【解析】如答图．在Rt△OAD中，∵OA＝10，OD＝5，∴cos∠AOD＝＝.∴∠AOD＝60°.同理可得∠BOD＝60°.∴∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝60°＋60°＝120°.∴弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°.训练6答图　垂径定理例4(2022，安顺，导学号5892921)已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，13\nAB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为(C)A.2cmB.4cmC.2cm或4cmD.2cm或4cm【解析】如答图，连接AC，AO.∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4(cm)，OD＝OC＝5cm.当点C的位置如答图①所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3(cm)．∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm)．∴AC＝＝＝4(cm)．当点C的位置如答图②所示时，同理可得OM＝3cm.∵OC＝5cm，∴MC＝5－3＝2(cm)．∴在Rt△AMC中，AC＝＝＝2(cm)．综上所述，AC的长为2cm或4cm.例4答图针对训练7(2022，张家界)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE的长为(A)　训练7题图A.8cmB.5cmC.3cmD.2cm【解析】∵CD⊥AB，CD＝8cm，∴CE＝CD＝4cm.在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，∴OE＝＝3cm.∴AE＝AO＋OE＝5＋3＝8(cm)．一、选择题1.(2022，聊城)如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是(D)第1题图A.25°B.27.5°C.30°D.35°【解析】∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°.∴∠AOC＝2∠B＝50°.∴∠C＝180°－95°－50°＝35°.2.(2022，威海)如图，⊙O的半径为5，AB为弦，C为弧AB的中点．若∠ABC＝30°，则弦AB的长为(D)13\n第2题图A.B.5C.D.5【解析】如答图，连接OA，OC，OC与AB相交于点E.∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°.由AB为弦，C为弧AB的中点，易知OC⊥AB，AE＝BE.在Rt△OAE中，AE＝OA·sin∠AOC＝5×＝，∴AB＝2AE＝5.第2题答图3.(2022，白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)第3题图A.15°B.30°C.45°D.60°【解析】如答图，连接DC.∵C(，0)，D(0，1)，∴∠DOC＝90°，OD＝1，OC＝.∴∠DCO＝30°.∴∠OBD＝∠DCO＝30°.第3题答图4.(2022，南充)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)第4题图A.58°B.60°C.64°D.68°【解析】∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC＝32°.∵BC是直径，∴∠CAB＝90°.∴∠B＝90°－32°＝58°.5.(2022，贵港)如图，点A，B，C均在⊙O上．若∠A＝66°，则∠OCB的度数是(A)13\n第5题图A.24°B.28°C.33°D.48°【解析】∵∠A＝66°，∴∠COB＝132°.∵CO＝BO，∴∠OCB＝∠OBC＝×(180°－132°)＝24°.6.(2022，盐城)如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为(C)第6题图A.35°B.45°C.55°D.65°【解析】由圆周角定理，得∠ABC＝∠ADC＝35°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠CAB＝90°－∠ABC＝55°.7.(2022，苏州)如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是弧AC上的点．若∠BOC＝40°，则∠D的度数为(B)　　　　第7题图A.100°B.110°C.120°D.130°【解析】∵∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°－40°＝140°.∴∠D＝×(360°－140°)＝110°.8.(2022，青岛)如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，B是弧AC的中点，则∠D的度数是(D)第8题图A.70°B.55°C.35.5°D.35°【解析】如答图，连接OB.∵B是弧AC的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝70°.13\n由圆周角定理，得∠D＝∠AOB＝35°.第8题答图9.(2022，滨州)已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆．若∠ABC＝25°，则劣弧AC的长为(C)A.B.C.D.【解析】如答图，连接AO，CO.∵∠ABC＝25°，∴∠AOC＝50°.∴劣弧AC的长为＝.第9题答图10.(2022，衢州)如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F.若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长是(D)第10题图A.3cmB.cmC.2.5cmD.cm【解析】如答图，连接OB.∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，BD＝8，∴BE＝DE＝4.∵AE＝2，∴在Rt△OEB中，OE2＋BE2＝OB2，即OE2＋42＝(OE＋2)2.解得OE＝3.∴OB＝3＋2＝5.∴EC＝5＋3＝8.在Rt△EBC中，BC＝＝＝4.∵OF⊥BC，∴∠OFC＝∠CEB＝90°.∵∠C＝∠C，∴△OFC∽△BEC.∴＝，即＝.解得OF＝.所以OF的长是cm.第10题答图二、填空题11.(2022，广东)在同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°.【解析】由圆周角定理，得弧AB所对的圆周角为50°.12.(2022，大连模拟)如图，截面为圆形的油槽内放入一些油．若圆的直径为150cm13\n，油的深度DC为30cm，则油面宽度AB是120cm.第12题图【解析】∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB.∵OC＝OB＝×150＝75(cm)，∴OD＝OC－CD＝75－30＝45(cm)．在Rt△OBD中，BD＝＝＝60(cm)，∴AB＝2BD＝120cm.13.(2022，烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－1，－2)．第13题图【解析】如答图，连接AB，CB，作AB，CB的垂直平分线，相交于点D.所以点D是过A，B，C三点的圆的圆心．所以点D的坐标为(－1，－2)．第13题答图14.(2022，嘉兴)如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为（）cm.第14题图【解析】如答图，连接OC，OD，OC与AD相交于点E.∵直尺一边与量角器相切于点C，∴OC⊥AD.∵AD＝10，∠DOB＝60°，∴∠DAO＝30°.∴OE＝，OA＝.∴CE＝OC－OE＝OA13\n－OE＝.即该直尺的宽度是cm.第14题答图三、解答题15.(2022，枣庄)如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.(1)求线段AD的长；(2)E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．第15题图【思路分析】(1)由勾股定理易求得AB的长．可连接CD，知CD⊥AB，易知Rt△ADC∽Rt△ACB，可得关于AC，AD，AB的比例关系式，即可求出AD的长．(2)当ED与⊙O相切时，由切线长定理知EC＝ED，则∠ECD＝∠EDC.连接OD，证OD⊥DE即可．解：(1)如答图，连接CD.在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5cm.∵BC为直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB.∴＝.∴AD＝＝＝(cm)．(2)当E是AC的中点时，直线ED与⊙O相切．理由：如答图，连接OD.∵DE是Rt△ADC的中线，∴ED＝EC.∴∠EDC＝∠ECD.∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠EDO＝∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.∴ED⊥OD.∴直线ED与⊙O相切．13\n第15题答图16.(2022，宜昌，导学号5892921)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．第16题图【思路分析】(1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明四边形ABFC是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．(2)连接BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题．(1)证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形．∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．(2)解：如答图，连接BD.∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.∴AB2－AD2＝CB2－CD2.∴(7＋CD)2－72＝(2＋2)2－CD2.解得CD＝1.∴AB＝AC＝AD＋CD＝7＋1＝8.∴BD＝＝.∴S半圆形＝π·42＝8π，S菱形ABFC＝AC·BD＝8.第16题答图1.(2022，襄阳)如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝13\n30°，则弦BC的长为(D)第1题图A.4B.2C.D.2【解析】如答图．∵OA⊥BC，∴CH＝BH，弧AB＝弧AC.∴∠AOB＝2∠CDA＝60°.∴BH＝OB·sin∠AOB＝.∴BC＝2BH＝2.第1题答图2.(2022，杭州)如图，AB是⊙O的直径，C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA＝30°.第2题图【解析】∵C是半径OA的中点，∴OC＝OD.∵DE⊥AB，∴∠CDO＝30°.∴∠DOA＝60°.∴∠DFA＝30°.3.(2022，温州，导学号5892921)如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在弧BD上．(1)求证：AE＝AB；(2)若∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的长．第3题图【思路分析】(1)由折叠得出∠AED＝∠ACD，AE＝AC，结合∠ABD＝∠AED知∠ABD＝∠ACD，从而得出AB＝AC，据此得证．(2)过点A作AH⊥BE于点H，由AB＝AE且BE＝2知BH＝EH＝1.根据∠ABE＝∠AEB＝∠ADB知cos∠ABE＝cos∠ADB＝＝，据此得AC＝AB＝3，利用勾股定理可得答案．(1)证明：由折叠的性质，知△ADE≌△ADC.∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC.∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD.13\n∴AB＝AC.∴AE＝AB.(2)解：如答图，过点A作AH⊥BE于点H.∵AB＝AE，BE＝2，∴BH＝EH＝1.∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝.∴＝.∴AB＝3.∵∠CAB＝90°，AC＝AB＝3，∴BC＝3.第3题答图13