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河北省2022年中考数学复习圆第31讲与圆有关的计算试题含解析
河北省2022年中考数学复习圆第31讲与圆有关的计算试题含解析
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第31讲 与圆有关的计算1.(2022,河北)某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥,它的高AO=8m,母线AB与底面半径OB的夹角为α,tanα=,则圆锥的底面积是36πm2.第1题图【解析】∵AO=8,tanα==,∴BO=6.所以圆锥的底面积是π·62=36π(m2).2.(2022,河北)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠C=30°,CD=2,则S阴影为(D)第2题图A.πB.2πC.D.π【解析】∵CD⊥AB,CD=2,∴CE=DE=CD=.在Rt△ACE中,∵∠C=30°,∴AE=CE·tan30°=1.在Rt△OED中,∵∠DOE=2∠C=60°,∴OD==2.∴OE=OA-AE=OD-AE=1.∴S阴影=S扇形OAD-S△OED+S△ACE=-×1×+×1×=π.3.(2022,河北)如图,将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形,则S扇形=4cm2.第3题图【解析】由题意,得弧长为8-2×2=4(cm),扇形的面积是×4×2=4(cm2).4.(2022,河北)如图①,作∠BPC平分线的反向延长线PA,现要分别以∠APB,∠APC,∠BPC13\n为内角作正多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案.例如,若以∠BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时∠BPC=90°,而=45°是360°(多边形外角和)的,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图②所示.第4题图图②中的图案外轮廓周长是14;在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是21.【解析】题图②中的图案外轮廓周长是6+6+2=14.设∠BPC=2x,则以∠BPC为内角的正多边形的边数为=,以∠APB为内角的正多边形的边数为.所以图案的外轮廓周长是-2+-2+-2=+-6.根据题意,可知2x的值只能为60,90,120,144.当x越小时,周长越大.∴当x=30时,周长最大.把此时的图案定为会标,则会标的外轮廓周长是+-6=21. 扇形的弧长与面积例1(2022,唐山滦南县二模)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2.将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以点O,E为圆心,OA,ED的长为半径画和,连接AD,则图中阴影部分的面积是(A)例1题图A.8-πB.C.3+πD.π【解析】如答图,过点D作DH⊥AE于点H.∵∠AOB=90°,OA=3,OB=2,∴AB==.由旋转的性质,可知OE=OB=2,DE=EF=AB=.∵∠OFE+∠FEO=∠OED+∠FEO=90°,∴∠OFE=∠OED.∴△DHE≌△EOF.∴DH=OE=OB=2.∴S阴影=S△ADE+S△EOF+S扇形AOF-S扇形DEF=×5×2+×2×3+-=8-π.13\n例1答图针对训练1(2022,成都武侯区模拟)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,△AOB的三个顶点都在格点上.现将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到对应的△COD,则点A经过的路径的长为(A)训练1题图A.B.πC.2πD.3π【解析】∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到对应的△COD,∴∠AOC=90°.∵OC=3,∴点A经过的路径的长为=.针对训练2(2022,绍兴柯桥区模拟)如图,△ABC为等边三角形,保持各边的长度不变,将BC边向三角形外拉伸得到扇形ABC.设△ABC的面积为S1,扇形ABC的面积为S2,则S1与S2的大小关系为(A)训练2题图A.S1<S2B.S1=S2C.S1>S2D.无法确定【解析】设△ABC的边长是a,高是h,则a>h.∵S1=ah,S2=··a=a2,∴S1<S2. 圆锥的相关计算例2(2022,连云港模拟)如图,已知扇形AOB的半径为6,圆心角的度数为120°.若将此扇形围成一个圆锥的侧面,则围成的圆锥的底面积为(A)例2题图A.4πB.6πC.9πD.12π13\n【解析】由弧长公式,可知==4π.∴圆锥底面圆的周长为4π.设底面圆的半径为r,∴4π=2πr.∴r=2.∴圆锥的底面积为π·22=4π.针对训练3(2022,南京秦淮区模拟)已知圆锥的母线长为12,底面圆的半径为6,则圆锥的侧面积是(D)A.24πB.36πC.70πD.72π【解析】圆锥的底面圆的周长为2π·6=12π,即圆锥侧面展开图扇形的弧长为12π,则圆锥的侧面积为·12π·12=72π.针对训练4(2022,银川兴庆区模拟)如图,点A在以BC为直径的⊙O内,且AB=AC.以点A为圆心,AC的长为半径作弧,得到扇形ABC,剪下扇形ABC围成一个圆锥(AB和AC重合).若∠ABC=30°,BC=2,则这个圆锥底面圆的半径是(A)训练4题图A.B.C.D.【解析】如答图,连接OA.∵AB=AC,OB=OC=BC=,∴AO⊥BC.∵∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,AO=OB=1.∴AB=2OA=2.设这个圆锥底面圆的半径为r,则2πr=.解得r=.训练4答图 正多边形和圆例3(2022,南阳镇平县模拟)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM的长为(B)例3题图A.2B.2C.D.4【解析】如答图,连接OB,OC.∵多边形ABCDEF是正六边形,∴∠BOC=60°.∵OB=13\nOC,∴△BOC是等边三角形.∴∠OBM=60°.∴OM=OB·sin∠OBM=4×=2.例3答图针对训练5如图,将正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心,AB的长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细).若AB=3,则所得扇形的面积为18.训练5题图【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形,AB=3,∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3.∴的长为3×4=12.∴S扇形AFB=×12×3=18.针对训练6(2022,石家庄新华区模拟)如图,边长为的正方形ABCD的顶点A,B在一个半径为的圆上,顶点C,D在圆内,将正方形ABCD沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动.当点C第一次落在圆上时,点C运动的路径长为(π).训练6题图【解析】如答图,设圆心为O,连接AO,BO,AC,AE,OF.∵AB=,AO=BO=,∴△AOB是等边三角形.∴∠AOB=∠OAB=60°.同理△FAO也是等边三角形,∠FAB=2∠OAB=120°.∴∠EAC=120°-90°=30°,∠GFE=120°-90°=30°.∵AD=AB=,∴AC==2.当点C第一次落在圆上时即点G的位置,点C运动的路径长为+=π.训练6答图13\n一、选择题1.(2022,盘锦)如图,一段公路的转弯处是一段圆弧(),则的展直长度为(B)第1题图A.3πB.6πC.9πD.12π【解析】的展直长度为=6π.2.(2022,仙桃)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B)A.120°B.180°C.240°D.300°【解析】设母线长为R,底面圆的半径为r,∴底面圆的周长为2πr,底面积为πr2,侧面面积为πrR.∵侧面积是底面积的2倍,∴2πr2=πrR.∴R=2r.设圆心角为n,则=2πr=πR.解得n=180°.3.(2022,宁夏)用一个半径为30,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥,则这个圆锥底面圆的半径是(A)A.10B.20C.10πD.20π【解析】设这个圆锥底面圆的半径是r.依题意,得2πr=.解得r=10.故这个圆锥底面圆的半径是10.4.如图,在△ABC中,D为BC的中点,以点D为圆心,BD长为半径画弧交AC于点E.若∠A=60°,∠B=100°,BC=4,则扇形BDE的面积为(C)第4题图A.B.C.D.【解析】∵∠A=60°,∠B=100°,∴∠C=180°-60°-100°=20°.∵DE=DC,∴∠DEC=∠C=20°.∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°.∴S扇形BDE==.5.(2022,黄石)如图,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,且∠ABD=30°,BO=4,则13\n的长为(D)第5题图A.B.C.2πD.【解析】如答图,连接OD.∵∠ABD=30°,∴∠AOD=2∠ABD=60°.∴∠BOD=120°.∴的长为=.第5题答图6.(2022,石家庄裕华区一模)如图,两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起,下面一张保持不动,将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度,则空白部分与阴影部分的面积之比是(C)第6题图A.5∶2B.3∶2C.3∶1D.2∶1【解析】正六边形的面积为6×·(2a)2=6a2,阴影部分的面积为2·a·a=2a2,∴空白部分与阴影部分的面积之比是6a2∶2a2=3∶1.7.(2022,广安,导学号5892921)如图,已知⊙O的半径是2,点A,B,C在⊙O上.若四边形OABC为菱形,则图中阴影部分的面积为(C)第7题图A.-2B.-C.-2D.-【解析】如答图,连接OB,AC,且它们相交于点D.∵⊙O的半径是2,∴OB=OA=OC=2.∵四边形OABC是菱形,∴OB⊥AC,OD=OB=1.在Rt△COD中,利用勾股定理,可知CD=13\n=.∴AC=2CD=2.∵sin∠COD==,∴∠COD=60°.∴∠AOC=2∠COD=120°.∴S菱形ABCO=·OB·AC=×2×2=2,S扇形AOC==.∴S阴影=S扇形AOC-S菱形ABCO=-2.第7题答图8.(2022,衢州)如图,AB是圆锥的母线,BC为底面圆的直径.已知BC=6cm,圆锥的侧面积为15πcm2,则sin∠ABC的值为(C)第8题图A.B.C.D.【解析】设圆锥的母线长为R.由题意,得15π=π·3·R.解得R=5.∴圆锥的高AO为4.∴sin∠ABC==.9.(2022,成都)如图,在▱ABCD中,∠B=60°,⊙C的半径为3,则图中阴影部分的面积是(C)第9题图A.πB.2πC.3πD.6π【解析】∵在▱ABCD中,∠B=60°,∴∠C=120°.∴S阴影==3π.10.(2022,绵阳)如图,蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成.若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2,圆柱高为3m,圆锥高为2m的蒙古包,则需要毛毡的面积为(A)第10题图A.(30+5)πm2B.40πm2C.(30+5)πm2D.55πm2【解析】设底面圆的半径为r.根据题意,得πr2=25π.解得r=5.∴圆锥的母线长为=.∴圆锥的侧面积为×2π·5×=5π,圆柱的侧面积为2π·5×3=13\n30π.∴需要毛毡的面积为(30+5)πm2.11.(2022,十堰)如图,在扇形OAB中,∠AOB=100°,OA=12,C是OB的中点,CD⊥OB交于点D,以OC为半径的交OA于点E,则图中阴影部分的面积是(C)第11题图A.12π+18B.12π+36C.6π+18D.6π+36【解析】如答图,连接OD,BD.∵C为OB的中点,∴OC=OB=OD.∵CD⊥OB,∴∠CDO=30°,∠DOC=60°.∴△BDO为等边三角形.∵OD=OA=12,OC=CB=6.∴CD=6.∴S扇形BOD==24π.∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COE-(S扇形BOD-S△COD)=--=6π+18.第11题答图12.(2022,邯郸二模)正六边形ABCDEF与正三角形ACG按如图所示的位置摆放,在六边形AGCDEF中,的值是(D)第12题图A.B.C.D.【解析】如答图,连接DF,过点G作GM⊥AC于点M.设AC=2a.∵六边形ABCDEF是正六边形,△ACG是正三角形,∴∠ABC==120°,AB=BC,AG=CG=AC=2a.∴GM过点B.∴AM=CM=a,∠BAC=∠BCA=30°.∴BM=a.∴AB=2BM=a.∴AF=AB=a.在Rt△GMA中,由勾股定理,得GM==a.∴正六边形ABCDEF的面积为2×·2a·a+2a·a=2a2,正三角形ACG的面积为·AC·GM=·2a·a=13\na2,阴影部分的面积为·AC·BM=·2a·a=a2.∴==.第12题答图二、填空题13.(2022,贵阳)如图,M,N分别是正五边形ABCDE的两边AB,BC上的点,且AM=BN,点O是正五边形的中心,则∠MON的度数是72°.第13题图【解析】如答图,连接OA,OB,OC,则∠AOB==72°.∵∠AOB=∠BOC,OA=OB=OC,∴∠OAB=∠OBC.在△AOM和△BON中,∴△AOM≌△BON.∴∠AOM=∠BON.∴∠MON=∠AOB=72°.第13题答图14.(2022,株洲,导学号5892921)如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形,则∠BOM的度数是48°.第14题图【解析】如答图,连接OA.∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠AOB==72°.∵△AMN是正三角形,∴∠AOM==120°.∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°.13\n第14题答图三、解答题15.(2022,湖州)如图,已知AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求的长.第15题图【思路分析】(1)根据平行线的性质得出∠AEO=90°,再利用垂径定理证明即可.(2)根据弧长公式解答即可.(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD.∴AE=ED.(2)解:∵OC⊥AD,∴=.∴∠ABC=∠CBD=36°.∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°.∴==2π.16.(2022,石家庄桥西区一模)如图,在矩形ABCD中,点F在BC边上,且AF=AD,过点D作DE⊥AF,垂足为E.(1)求证:DE=AB;(2)以点A为圆心,AB的长为半径作弧交AF于点G.若AD=4,tan∠ADE=,求阴影部分的面积.第16题图【思路分析】(1)根据矩形的性质得出∠ABC=90°,AD∥BC,求出∠DAE=∠AFB,∠AED=90°,根据AAS推出△ABF≌△DEA即可.(2)根据tan∠ADE=,可得∠ADE=60°,解Rt△ADE,求出AE=6,DE=2,根据全等三角形的性质得到AB=DE=2,BF=EA=6,∠BAF13\n=∠EDA=60°,再根据S阴影=S△ABF-S扇形ABG求出即可.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AD∥BC.∴∠DAE=∠AFB.∵DE⊥AF,∴∠AED=90°.在△ABF和△DEA中,∴△ABF≌△DEA(AAS).∴DE=AB.(2)解:∵tan∠ADE=,∴∠ADE=60°.∵AD=4,∠AED=90°,∴AE=AD·sin∠ADE=4×=6,DE=2.由(1)知,△ABF≌△DEA.∴AB=DE=2,BF=EA=6,∠BAF=∠EDA=60°.∴S阴影=S△ABF-S扇形ABG=×2×6-=6-2π.1.(2022,荆州)如图,将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中,测得相关数据如图所示(图中数据单位:cm),则钢球的半径为()cm.(圆锥的壁厚忽略不计)第1题图【解析】钢球的直径为×20=(cm),所以钢球的半径为÷2=(cm).2.(2022,荆门)如图,在▱ABCD中,AB<AD,∠D=30°,CD=4,以AB为直径的⊙O交BC于点E,则阴影部分的面积为(-).第2题图【解析】如答图,连接OE,AE.∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=4,∠B=∠D=30°.∴AE=AB=2,BE==2.∵OA=OB=13\nOE,∴∠B=∠OEB=30°.∴∠BOE=120°.∴S阴影=S扇形OBE-S△BOE=-×AE·BE=π-×2×2=-.第2题答图3.(2022,玉林,导学号5892921)如图,正六边形ABCDEF的边长是6+4,点O1,O2分别是△ABF,△CDE的内心,则O1O2=12+4.第3题图【解析】如答图,过点A作AM⊥BF于点M,连接O1F,O1A,O1B.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠FAB==120°,AF=AB.∴∠AFB=∠ABF=×(180°-120°)=30°.∴AM=AF=×(6+4)=3+2.∴FM=BM=AM=3+6.∴BF=2FM=12+6.设△AFB的内切圆的半径为r.∵S△AFB=S△AO1F+S△AO1B+S△BFO1,∴×(3+2)×(6+12)=×(6+4)·r+×(6+4)·r+×(12+6)·r.解得r=3,即O1M=r=3.∴O1O2=2×3+6+4=12+4.第3题答图13
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中考 - 二轮专题
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