河北省2022年中考数学复习圆第30讲与圆有关的位置关系试题含解析

第30讲　与圆有关的位置关系1.(2022，河北)如图，A(－5，0)，B(－3，0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°.点P从点Q(4，0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为ts.(1)求点C的坐标；(2)当∠BCP＝15°时，求t的值；(3)以点P为圆心，PC的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求t的值．第1题图【思路分析】(1)由∠CBO＝45°，∠COB为直角，得∠BCO＝45°.所以∠BCO＝∠CBO.可得OC＝OB＝3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标．(2)需要对点P的位置进行分类讨论．①当点P在点B右侧时，由∠BCO＝45°，用∠BCO－∠BCP求出∠PCO＝30°.又OC＝3，在Rt△POC中，求出OP的长．由PQ＝OQ＋OP求出运动的总路程，即可求出此时的时间t.②当点P在点B左侧时，用∠BCO＋∠BCP求出∠PCO＝60°.又OC＝3，在Rt△POC中，求出OP的长，由PQ＝OQ＋OP求出运动的总路程，即可求出此时的时间t.(3)当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，分三种情况讨论．①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP＝90°，由∠BCO＝45°，得到∠OCP＝45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP＝OC，由OC＝3，得到OP＝3，用OQ－OP求出点P运动的路程，即可得出此时的时间t.②当⊙P与CD相切于点C时，点P与点O重合，可得出点P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t.③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到A为切点，由PC＝PA，且PA＝9－t，PO＝t－4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t.综上，得到所有满足题意的时间t的值．解：(1)∵∠CBO＝45°，∠COB＝90°，∴∠BCO＝90°－45°＝45°.∴∠BCO＝∠CBO.∴OC＝OB＝3.∵点C在y轴的正半轴上，∴点C的坐标为(0，3)．(2)分两种情况考虑．①当点P在点B右侧时，如答图①.∵∠BCP＝15°，∠BCO＝45°，∴∠PCO＝30°.∴OP＝CO·tan30°＝.此时t＝4＋.②当点P在点B左侧时，如答图②.∵∠BCP＝15°，∠BCO＝45°，∴∠PCO＝60°.∴OP＝CO·tan60°＝3.此时t＝4＋3.∴当∠BCP＝15°时，t的值为4＋或4＋3.18\n(3)由题意，知若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况．①如答图③，当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°.∵∠BCO＝45°，∴∠OCP＝45°.∴OP＝3，此时t＝1.②如答图④，当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t＝4.③如答图⑤，当⊙P与AD相切于点A时，有PC＝PA.∴PC2＝PA2＝(9－t)2，PO2＝(t－4)2.∴(9－t)2＝(t－4)2＋32.解得t＝5.6.∴t的值为1或4或5.6.第1题答图2.(2022，河北，导学号5892921)如图，点A在数轴上表示的数为26，以原点O为圆心，OA的长为半径作优弧，使点B在点O的右下方，且tan∠AOB＝，在优弧上任取一点P，且能过点P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上表示的数为x，连接OP.第2题图(1)若优弧上的一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；18\n(2)求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；(3)若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．【思路分析】(1)利用弧长公式求出圆心角的度数．利用PQ∥OB，得∠PQO＝∠QOB.根据tan∠AOB＝，得＝，求出OQ的长即可解决问题．(2)当点Q在点O的左边，直线PQ与⊙O相切时，x的值最小．(3)因为P是优弧上的任意一点，所以点P的位置分三种情形，分别求解即可解决问题．解：(1)由＝13π，解得n＝90.∴∠AOP＝90°.∵PQ∥OB，∴∠PQO＝∠QOB.∴tan∠PQO＝tan∠QOB＝＝.∴OQ＝.∴x＝.(2)如答图①.当点Q在点O的左边，直线PQ与⊙O相切时，x的值最小．在Rt△OPQ中，OQ＝OP÷＝32.5，此时x的值为－32.5.(3)分三种情况：①如答图②，过点O作OH⊥PQ于点H.设OH＝4k，QH＝3k.在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2＋PH2，∴262＝(4k)2＋(3k－12.5)2.整理，得k2－3k－20.79＝0.解得k＝6.3.∴OQ＝5k＝31.5，此时x的值为31.5.②如答图③，过点O作OH⊥PQ交PQ的延长线于点H.设OH＝4k，QH＝3k.在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2＋PH2，∴262＝(4k)2＋(12.5＋3k)2.整理，得k2＋3k－20.79＝0.解得k＝3.3.∴OQ＝5k＝16.5，此时x的值为－16.5.③如答图④，过点O作OH⊥PQ于点H.设OH＝4k，QH＝3k.在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2＋PH2，∴262＝(4k)2＋(3k－12.5)2.整理，得k2－3k－20.79＝0.解得k＝6.3.18\n∴OQ＝5k＝31.5，此时x的值为－31.5.综上所述，满足条件的x的值为31.5或－16.5或－31.5.第2题答图　点与圆的位置关系例1(2022，福州)如图，在6×6的正方形网格中，有6个点，M，N，O，P，Q，R(除点R外其余5个点均为格点)，以点O为圆心，OQ的长为半径作圆，则在⊙O外的点是(C)例1题图A.MB.NC.PD.R【解析】∵OQ＝＝，OP＝＝2，ON＝2，OR＝＝，OM＝＝，∴在⊙O外的点是P.针对训练1如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，以点C为圆心，2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是(B)训练1题图A.点O在⊙C外B.点O在⊙C上C.点O在⊙C内D.不能确定【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，O是AB的中点，∴OC＝2.∵以点C为圆心，2为半径作⊙C，∴OC＝半径．∴点O在⊙C上.　直线与圆的位置关系18\n例2如图，⊙O的半径为4，P是⊙O外的一点，PO＝10，A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA.当直线l与⊙O相切时，PA的长为(B)例2题图A.10B.C.11D.【解析】如答图，连接OA，OC(C为切点)，过点O作OB⊥AP于点B.在Rt△AOB中，OB2＝OA2－AB2＝16－AB2.∵l与⊙O相切，∴OC⊥l.∵∠OBD＝∠OCD＝∠CDB＝90°，∴四边形BOCD为矩形．∴BD＝OC＝4.∵直线l垂直平分PA，∴PD＝BD＋AB＝4＋AB.∴PB＝8＋AB.在Rt△OBP中，OB2＋PB2＝OP2，即16－AB2＋(8＋AB)2＝102.解得AB＝.∴PA＝2PD＝2×＝.例2答图针对训练2如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是0＜x≤.训练2题图【解析】如答图，设切点为C，连接OC，则圆的半径OC＝1，OC⊥PC.∵∠AOB＝45°，OA∥PC，∴∠OPC＝45°.∴PC＝OC＝1.∴OP＝.同理，原点左侧的距离也是，且线段长是正数．∴x的取值范围是0＜x≤.训练2答图　切线的判定和性质例3(导学号5892921)如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE.18\n(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若tan∠BAC＝，BC＝2，求⊙O的半径．例3题图【思路分析】(1)连接OE.根据平行线的性质和已知，得∠DAC＝∠DCE，证明∠AEO＋∠DEC＝90°，则∠OEC＝90°，可得结论．(2)先根据三角函数计算AB＝.由勾股定理，得AC＝.由tan∠DCE＝tan∠ACB＝，得DE＝1.所以CE＝.设⊙O的半径为r，列方程可得结论．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∴∠BCA＝∠DAC.∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE.如答图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE.∴∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°.∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．(2)解：∵tan∠BAC＝，BC＝2，∴AB＝.∴AC＝.∵∠DCE＝∠ACB，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝.∴DE＝DC·tan∠DCE＝1.在Rt△CDE中，CE＝＝.设⊙O的半径为r.在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，∴(－r)2＝r2＋3.解得r＝，即⊙O的半径是.例3答图18\n针对训练3(2022，包头)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上(不与点B，C重合)，连接BE，CE.若∠D＝40°，则∠BEC＝115°.训练3题图【解析】如答图，连接OC.∵DC切⊙O于点C，∴∠DCO＝90°.∵∠D＝40°，∴∠COB＝∠D＋∠DCO＝130°.∴∠BEC＝×(360°－130°)＝115°.训练3答图　三角形的内切圆例4(2022，烟台)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为(C)例4题图A.56°B.62°C.68°D.78°【解析】∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC，∠ACB＝2∠ICA.∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°－(∠BAC＋∠ACB)＝180°－2(∠IAC＋∠ICA)＝180°－2(180°－∠AIC)＝68°.又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠B＝68°.针对训练4(2022，湖州)如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是70°.训练4题图【解析】∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴BO平分∠ABC，OD⊥BC.∴∠OBD＝∠ABC＝×40°＝20°.∴∠BOD＝90°－∠OBD＝70°.18\n一、选择题1.(2022，哈尔滨)如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝3，则线段BP的长为(A)第1题图A.3B.3C.6D.9【解析】如答图，连接OA.∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∵OB＝3，∴AO＝3.在Rt△AOP中，∵∠P＝30°，∴OP＝2OA＝6.∴BP＝OP－OB＝6－3＝3.第1题答图2.(2022，保定二模)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是(B)第2题图A.相切B.相交C.相离D.无法确定【解析】如答图，过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N.∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴△ABC是直角三角形．∴AM·BC＝AC·AB.∴AM＝＝.∵D，E分别是AC，AB的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝2.5.∴AN＝MN＝AM＝1.2.∵以DE为直径的圆的半径为1.25，1.25＞1.2，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交．第2题答图3.(2022，唐山路南区三模)如图，已知直线m∥n，把△ABC剪成三部分，点A，B，C在直线n上，点O在直线m上，则点O是△ABC的(C)18\n第3题图A.垂心B.重心C.内心D.外心【解析】如答图①，过点O作OD′⊥BC于点D′，OE′⊥AC于点E′，OF′⊥AB于点F′.如答图②，过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F.∵m∥n，∴OD＝OE＝OF.由裁剪，知OD＝OD′，OE＝OE′，OF＝OF′，∴OD′＝OE′＝OF′.∴点O是三角形三个内角的平分线的交点．∴点O是△ABC的内心．　第3题答图4.(2022，石家庄桥西区一模)如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA.若∠P＝40°，当PA与⊙O相切时，∠B的度数为(B)第4题图A.20°B.25°C.30°D.40°【解析】∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∴∠AOP＝90°－∠P＝50°.∴∠B＝∠AOP＝25°.5.(2022，重庆A)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为(A)第5题图A.4B.2C.3D.2.5【解析】如答图，连接DO.∵PD与⊙O相切于点D，∴∠PDO＝90°.∵∠C＝90°，∴DO∥BC.∴△PDO∽△PCB.∴＝＝＝.设PA＝x，则＝.解得x＝4.∴PA＝4.第5题答图6.(2022，泰安)如图，BM与⊙O相切于点B.若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为(A)18\n第6题图A.40°B.50°C.60°D.70°【解析】如答图，连接OA，OB.∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM＝90°.∵∠MBA＝140°，∴∠ABO＝50°.∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝50°.∴∠AOB＝80°.∴∠ACB＝∠AOB＝40°.第6题答图7.(2022，常州)如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N.若∠MNB＝52°，则∠NOA的度数为(A)第7题图A.76°B.56°C.54°D.52°【解析】∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM.∴∠ONM＝90°.∴∠ONB＝90°－∠MNB＝90°－52°＝38°.∵ON＝OB，∴∠B＝∠ONB＝38°.∴∠NOA＝2∠B＝76°.8.(2022，深圳)一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是(D)第8题图A.3B.3C.6D.6【解析】如答图，设三角板与圆的切点为C，连接OA，OB.由切线长定理，知AO平分∠BAC，∴∠OAB＝60°.在Rt△ABO中，OB＝AB·tan∠OAB＝3，∴光盘的直径为6.第8题答图18\n9.(2022，石家庄二模)如图，⊙O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB＝2，OA＝4，将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，则OC的长为(B)第9题图A.1B.2C.3D.4【解析】在Rt△ABO中，sin∠OAB＝＝＝，∴∠OAB＝60°.∵直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，∴∠CAB＝30°，OC⊥AC.∴∠OAC＝60°－30°＝30°.在Rt△OAC中，OC＝OA＝2.10.(2022，湘西州)如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB.若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为(D)第10题图A.10B.8C.4D.4【解析】∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB.又∵CD∥AB，∴AO⊥CD，记垂足为E.∵CD＝8，∴CE＝DE＝CD＝4.如答图，连接OC，则OC＝OA＝5.在Rt△OCE中，OE＝＝＝3，∴AE＝AO＋OE＝8.∴AC＝＝＝4.第10题答图11.如图，点I为△ABC的内心，点D在BC上，且ID⊥BC.若∠B＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为(A)第11题图A.174°B.176°C.178°D.180°【解析】如答图，连接CI.在△ABC中，∠B＝44°，∠ACB＝56°，∴∠BAC＝180°－∠B18\n－∠ACB＝80°.∵点I为△ABC的内心，∴∠CAI＝∠BAC＝40°，∠ACI＝∠DCI＝∠ACB＝28°.∴∠AIC＝180°－∠CAI－∠ACI＝112°.又ID⊥BC，∴∠CID＝90°－∠DCI＝62°.∴∠AID＝∠AIC＋∠CID＝112°＋62°＝174°.第11题答图二、填空题12.(2022，台州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝32°，则∠D＝26°.第12题图【解析】如答图，连接OC.由圆周角定理，得∠COD＝2∠A＝64°.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.∴∠D＝90°－∠COD＝26°.第12题答图13.(2022，长沙)如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝50°.第13题图【解析】∵∠A＝20°，∴∠BOC＝40°.∵BC是⊙O的切线，B为切点，∴∠OBC＝90°.∴∠OCB＝90°－40°＝50°.14.(2022，大庆)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，且AC＝6，则这个三角形的内切圆的半径为2.【解析】∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8.设内切圆的半径为r，则×6·r＋×8·r＋×10·r＝×6×8.解得r＝2.15.(2022，连云港)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P.已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝44°.18\n第15题图【解析】如答图，连接OB.∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC.∴∠OBA＋∠CBP＝90°.∵OC⊥OA，∴∠OAB＋∠APO＝90°.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝22°.∴∠APO＝∠CBP＝68°.∵∠APO＝∠CPB，∴∠CPB＝∠CBP＝68°.∴∠OCB＝180°－68°－68°＝44°.第15题答图16.(2022，安徽)如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若D是AB的中点，则∠DOE＝60°.第16题图【解析】如答图，连接OA.∵四边形ABOC是菱形，∴BA＝BO.∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB.∵D是AB的中点，∴直线OD是线段AB的垂直平分线．∴OA＝OB.∴△AOB是等边三角形．∴∠AOD＝∠AOB＝30°.同理，∠AOE＝30°.∴∠DOE＝∠AOD＋∠AOE＝60°.第16题答图三、解答题17.(2022，潍坊)如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C.(1)求证：AE与⊙O相切于点A；(2)若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求AD的长．第17题图【思路分析】(1)连接OA，交BC于点F.根据OA＝OD，可得∠D＝∠DAO.由同弧所对的圆周角相等及已知，得∠BAE＝∠DAO.再由直径所对的圆周角是直角，得∠BAD＝90°.进而可得结论．(2)先证明OA⊥BC.由垂径定理，得＝，FB＝BC.根据勾股定理计算AF，OB，AD的长即可．18\n(1)证明：如答图，连接OA，交BC于点F，则OA＝OD.∴∠D＝∠DAO.∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DAO.∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠DAO.∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，即∠DAO＋∠BAO＝90°.∴∠BAE＋∠BAO＝90°，即∠OAE＝90°.∴AE⊥OA.∴AE与⊙O相切于点A.(2)解：∵AE∥BC，AE⊥OA，∴OA⊥BC.∴＝，FB＝BC.∴AB＝AC.∵BC＝2，AC＝2，∴BF＝，AB＝2.在Rt△ABF中，AF＝＝1.在Rt△OFB中，OB2＝BF2＋(OB－AF)2.∴OB2＝()2＋(OB－1)2.∴OB＝4.∴BD＝8.在Rt△ABD中，AD＝＝＝2.第17题答图18.(2022，德州)如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，C是的中点．(1)求证：AD⊥CD；(2)若∠CAD＝30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE→EC→爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程．(π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数)第18题图【思路分析】(1)连接OC.根据切线的性质得到OC⊥CD.证明OC∥AD.进而得到AD⊥CD.(2)根据圆周角定理得到∠COE＝60°.根据锐角三角函数、弧长公式计算即可．(1)证明：如答图，连接OC.∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD.18\n∵C是的中点，∴∠DAC＝∠EAC.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠EAC.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.∴AD⊥CD.(2)解：∵∠CAD＝30°，∴∠CAE＝∠CAD＝30°.由圆周角定理，得∠COE＝60°.∴OE＝2OC＝6，EC＝OC＝3，＝＝π.∴BE＝3.∴蚂蚁爬过的路程为3＋3＋π≈11.3.第18题答图19.(2022，赤峰)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A，D两点，交AC于点E，交AB于点F.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积．(结果保留根号)第19题图【思路分析】(1)连接OD.只要证明OD∥AC即可解决问题．(2)连接OE，交AD于点K.只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题．(1)证明：如答图，连接OD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC.∴∠ODA＝∠DAC.∴OD∥AC.∴∠ODB＝∠C＝90°.∴OD⊥BC.∴BC是⊙O的切线．(2)解：如答图，连接OE，交AD于点K.18\n∵E是的中点，∴＝.∴OE⊥AD.∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，∴△AKO≌△AKE.∴AO＝AE＝OE.∴△AOE是等边三角形．∴∠AOE＝60°.∴S阴影＝S扇形OAE－S△AOE＝－×22＝－(cm2)．第19题答图1.如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转(C)第1题图A.40°或80°B.50°或100°C.50°或110°D.60°或120°【解析】(1)如答图①，当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB＝90°.在Rt△OPB中，OB＝2OP，∴∠A′BO＝30°.∴∠ABA′＝50°.(2)如答图②，当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时，同(1)，可求得∠A′BO＝30°.此时∠ABA′＝80°＋30°＝110°.综上所述，旋转的度数为50°或110°.第1题答图2.(2022，泰州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，AC＝12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，PA′的长为半径作⊙P.当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为（或）.18\n第2题图【解析】在Rt△ABC中，由∠ACB＝90°，sinA＝，AC＝12，可得AB＝13，BC＝5.如答图①，当⊙P与边AC相切于点Q时，连接PQ.设PQ＝PA′＝r.∵PQ∥CA′，∴△B′QP∽△B′CA′.∴＝.∴＝.∴r＝.如答图②，当⊙P与边AB相切于点T时，易证A′，B′，T三点共线．易证△A′BT∽△ABC，∴＝.∴＝.∴A′T＝.∴r＝A′T＝.综上所述，⊙P的半径为或.第2题答图3.(2022，荆门，导学号5892921)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于点F，FM⊥AB于点H，分别交⊙O，AC于点M，N，连接MB，BC.(1)求证：AC平分∠DAE；(2)若cosM＝，BE＝1.①求⊙O的半径；②求FN的长．第3题图【思路分析】(1)连接OC.利用切线的性质得OC⊥DE，则判定OC∥AD.然后利用平行线的性质和等边对等角即可得出答案．(2)①易证∠COE＝∠FAB，再由∠FAB＝∠M，得∠COE＝∠M.设⊙O的半径为r.然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到＝.从而解方程求出r的值即可．②连接BF.先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF＝，再计算出CE＝3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．18\n(1)证明：如答图，连接OC.∵直线DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE.∵AD⊥DE，∴OC∥AD.∴∠1＝∠3.∵OA＝OC，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠2.∴AC平分∠DAE.(2)解：①由(1)知OC∥AD，∴∠COE＝∠FAB.∵∠FAB＝∠M，∴∠COE＝∠M.∴cos∠COE＝cosM＝.设⊙O的半径为r.在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，即＝.解得r＝4，即⊙O的半径为4.②如答图，连接BF.∵AB为直径，∴∠AFB＝90°.在Rt△AFB中，cos∠FAB＝，∴AF＝8×＝.在Rt△OCE中，OE＝5，OC＝4，∴CE＝3.∵AB⊥FM，∴＝.∴∠4＝∠5.∵AD⊥DE，∴FB∥DE.∴∠5＝∠E＝∠4.∵∠1＝∠2，∴△AFN∽△AEC.∴＝，即＝.∴FN＝.第3题答图18