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河北省2022年中考数学复习三角形第22讲全等三角形试题含解析
河北省2022年中考数学复习三角形第22讲全等三角形试题含解析
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第22讲 全等三角形1.(2022,河北)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)求∠ACE的度数;(3)求证:四边形ABFE是菱形.第1题图【思路分析】(1)根据旋转的性质得出∠BAD=∠CAE,然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等.(2)根据AC=AE,得出∠ACE=∠AEC,即可求得.(3)根据对角相等的四边形是平行四边形,可证得四边形ABFE是平行四边形,然后依据邻边相等的平行四边形是菱形,即可得证.(1)证明:∵△ADE是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到的,∴∠BAD=∠CAE=100°.∵AB=AC,∴AB=AC=AD=AE.在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(SAS).(2)解:∵∠CAE=100°,AC=AE,∴∠ACE=∠AEC=(180°-∠CAE)=40°.(3)证明:∵∠BAD=∠CAE=100°,AB=AC=AD=AE,∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°.∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°,∴∠BFE=360°-∠BAE-∠ABD-∠AEC=140°.∴∠BAE=∠BFE.∴四边形ABFE是平行四边形.∵AB=AE,∴四边形ABFE是菱形.2.(2022,河北)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.11\n第2题图【思路分析】(1)由BF=EC,得BC=EF,根据“SSS”证得全等.(2)由全等三角形的对应角相等得∠ABC=∠DEF,∠ACF=∠DFE,根据“内错角相等,两直线平行”得平行线段.(1)证明:∵BF=EC,∴BF+FC=EC+FC,即BC=EF.∵AB=DE,AC=DF,∴△ABC≌△DEF.(2)解:AB∥DE,AC∥DF.理由:由(1)知△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF,∠ACF=∠DFE.∴AB∥DE,AC∥DF.3.(2022,河北)如图,点P在线段AB外,且PA=PB,求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是(B)第3题图A.作∠APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC.取AB的中点C,连接PCD.过点P作PC⊥AB,垂足为C【解析】A.利用SAS判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∠PCA=∠PCB=90°.∴点P在线段AB的垂直平分线上.符合题意.B.过线段外一点作已知线段的垂线,不能保证也平分此条线段,不符合题意.C.利用SSS判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∠PCA=∠PCB=90°.∴点P在线段AB的垂直平分线上.符合题意.D.利用HL判断出Rt△PCA≌Rt△PCB,∴CA=CB.∴点P在线段AB的垂直平分线上.符合题意. 全等三角形的性质与判定例1如图,从下列四个条件①BC=B′C,②AC=A′C,③∠A′CA=∠B′CB,④AB=A′B′中,任取三个为条件,余下的一个为结论,则可以构成正确结论的最多有(B)例1题图A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】当①②③为条件,④为结论时,∵∠A′CA=∠B′CB,∴∠A′CB′=∠ACB.∵BC11\n=B′C,AC=A′C,∴△A′CB′≌△ACB.∴AB=A′B′.当①②④为条件,③为结论时,∵BC=B′C,AC=A′C,AB=A′B′,∴△ACB≌△A′CB′.∴∠A′CB′=∠ACB.∴∠A′CA=∠B′CB.针对训练1(2022,唐山路南区模拟)下列结论错误的是(B)A.全等三角形对应边上的中线相等B.两个直角三角形中,两个锐角相等,则这两个三角形全等C.全等三角形对应边上的高相等D.两个直角三角形中,斜边和一个锐角对应相等,则这两个三角形全等【解析】A.如答图①.∵△ABC≌△DEF,∴AB=DE,∠B=∠E,BC=EF.∵AM是△ABC的中线,DN是△DEF的中线,∴BC=2BM,EF=2EN.∴BM=EN.在△ABM和△DEN中,∴△ABM≌△DEN(SAS).∴AM=DN.故本选项正确.B.如教师用的含30°角的三角板和学生用的含30°角的三角板就不全等,故本选项错误.C.如答图②.∵△A′B′C′≌△D′E′F′,∴A′B′=D′E′,∠B′=∠E′.∵A′M′是△A′B′C′的高,D′N′是△D′E′F′的高,∴∠A′M′B′=∠D′N′E′=90°.在△A′B′M′和△D′E′N′中,∴△A′B′M′≌△D′E′N′.∴A′M′=D′N′.故本选项正确.D.根据AAS可推出两个直角三角形全等.故本选项正确.训练1答图 图形变化中的全等三角形例2(2022,唐山丰南区二模)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC.若∠DAB的平分线AE交CD于点E,连接BE,且BE平分∠ABC,则以下结论不正确的有(B)①BC+AD=AB;②E为CD的中点;③∠AEB=90°;④S△ABE=S四边形ABCD;⑤BC=CE.例2题图A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°.∵AE,BE分别是∠BAD和∠ABC的平分线,∴∠BAE=∠BAD,∠ABE=∠ABC.∴∠BAE+∠ABE=(∠BAD+∠ABC)=90°.∴∠AEB=180°-(∠BAE+∠ABE)=180°-90°=90°.故③正确.如答图,延长AE交BC的延长线于点F.∵∠AEB=90°,∴BE⊥AF.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠FBE.在△ABE和△FBE中,11\n∴△ABE≌△FBE(ASA).∴AB=BF,AE=FE.∵AD∥BC,∴∠EAD=∠F.在△ADE和△FCE中,∴△ADE≌△FCE(ASA).∴AD=CF.∴AB=BC+CF=BC+AD.故①正确.∵△ADE≌△FCE,∴CE=DE,即E为CD的中点.故②正确.∵△ADE≌△FCE,∴S△ADE=S△FCE.∴S四边形ABCD=S△ABF.∵S△ABE=S△ABF,∴S△ABE=S四边形ABCD.故④正确.若AD=BC,则CE是Rt△BEF斜边上的中线,则BC=CE.∵AD与BC不一定相等,∴BC与CE不一定相等.故⑤错误.综上所述,不正确的结论有1个.例2答图针对训练2(2022,石家庄43中模拟)如图,在Rt△ABC中有一个正方形BDEF,点E正好落在直角三角形的斜边AC上.已知AE=8cm,EC=10cm,那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?训练2题图【思路分析】由于四边形BDEF是正方形,因此EF=ED,∠DEF=90°.将△AFE绕点E逆时针旋转90°得到△GDE,与△EDC组成一个直角三角形,则两直角边长分别是10cm,8cm,由此可求出阴影部分的面积.解:如答图.将△AFE绕点E逆时针旋转90°得到△GDE,与△EDC组成一个直角三角形,则两直角边长分别是10cm,8cm,所以阴影部分的面积是×10×8=40(cm2).训练2答图11\n一、选择题1.(2022,安顺)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于点O.已知AB=AC,现添加下面的条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是(D)第1题图A.∠B=∠CB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD【解析】AB=AC,∠A为公共角.A.如添加∠B=∠C,利用ASA即可证明△ABE≌△ACD.B.如添加AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD.C.如添加BD=CE,可得AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD.D.如添加BE=CD,因为SSA不能证明△ABE≌△ACD,所以此选项不能作为添加的条件.2.(2022,黔西南州)下列各图中a,b,c为三角形的三边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(B)第2题图A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙【解析】在△ABC和图乙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:SAS,所以乙和△ABC全等.在△ABC和图丙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:AAS,所以丙和△ABC全等.不能判定甲与△ABC全等.3.(2022,石家庄新华区二模)三个全等三角形按如图所示的形式摆放,则∠1+∠2+∠3的度数是(D)第3题图A.90°B.120°C.135°D.180°【解析】如答图.由图形,可得∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7=540°.∵三个三角形全等,∴∠4+∠9+∠6=180°.∵∠5+∠7+∠8=180°,∴∠1+∠2+∠3+180°+180°=540°.∴∠1+∠2+∠3=180°.11\n第3题答图4.(2022,南京,导学号5892921)如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上的两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为(D)第4题图A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c【解析】∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°.∴∠A=∠C.∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE.∴AF=CE=a,DE=BF=b.∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.5.(2022,临沂)如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是D,E,AD=3,BE=1,则DE的长是(B)第5题图A.B.2C.2D.【解析】∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°.∴∠EBC+∠BCE=90°.∵∠BCE+∠DCA=90°,∴∠EBC=∠DCA.在△CEB和△ADC中,∴△CEB≌△ADC(AAS).∴DC=BE=1,CE=AD=3.∴DE=CE-CD=3-1=2.6.(2022,龙东,导学号5892921)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为(B)第6题图A.15B.12.5C.14.5D.17【解析】如答图,过点A作AE⊥AC,交CB的延长线于点E.∵∠DAB=∠DCB=90°,∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC.∴∠D=∠ABE.∵∠DAB=∠CAE=90°,∴∠CAD=∠EAB.∵AD=AB,∴△ACD≌△AEB.∴AC=AE,即△ACE是等腰直角三角形.∴四边形ABCD11\n的面积与△ACE的面积相等.∵S△ACE=×5×5=12.5,∴四边形ABCD的面积为12.5.第6题答图7.(2022,石家庄裕华区一模)有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是(C) ABCD【解析】A.由SAS证得两个小三角形全等,故本选项不符合题意.B.由SAS证得两个小三角形全等,故本选项不符合题意.C.如答图①.∵∠DEC=∠B+∠BDE,∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.所以其对应边应该是BE和CF.而已知给的是BD=FC=3,所以不能判定两个小三角形全等.故本选项符合题意.D.如答图②.∵∠D′E′C=∠B+∠BD′E′,∴x°+∠F′E′C=x°+∠BD′E′.∴∠F′E′C=∠BD′E′.∵BD′=CE′=2,∠B=∠C,∴△BD′E′≌△CE′F′.所以能判定两个小三角形全等.故本选项不符合题意.第7题答图二、填空题8.(2022,金华)如图,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是AC=BC.第8题图【解析】添加AC=BC.∵AD,BE为△ABC的两条高,∴∠ADC=∠BEC=90°.在△ADC和△BEC中,∴△ADC≌△BEC(AAS).9.(2022,衢州)如图,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,BF=CE,AB∥DE,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是AB=ED11\n.(只需写一个,不添加辅助线)第9题图【解析】添加AB=ED.∵BF=CE,∴BF+FC=CE+FC,即BC=EF.∵AB∥DE,∴∠B=∠E.在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SAS).三、解答题10.(2022,苏州)如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:BC∥EF. 第10题图【思路分析】由SAS判定△ABC≌△DEF,则∠ACB=∠DFE,由此证得结论.证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D.∵AF=DC,∴AC=DF.在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SAS).∴∠ACB=∠DFE.∴BC∥EF.11.如图,OC是∠MON内的一条射线,P为OC上一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A,B,PA=PB,连接AB,AB与OP交于点E.(1)求证:△OPA≌△OPB;(2)若AB=6,求AE的长. 第11题图【思路分析】(1)依据PA⊥OM,PB⊥ON,可得∠PAO=∠PBO=90°,再根据PA=PB,PO=PO,即可得到Rt△OPA≌Rt△OPB.(2)依据∠APE=∠BPE,PA=PB,即可得到AE=BE,进而得出AE=AB=3.(1)证明:∵PA⊥OM,PB⊥ON,∴∠PAO=∠PBO=90°.∵PA=PB,PO=PO,∴Rt△OPA≌Rt△OPB.11\n(2)解:∵△OPA≌△OPB,∴∠APE=∠BPE.∵PA=PB,∴AE=BE.∴AE=AB=3.12.(2022,保定一模)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点E在BC边上.(1)求证:△ACD≌△ABE;(2)若∠CDE=60°,求∠AEB的度数.第12题图【思路分析】(1)根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明即可.(2)利用全等三角形的性质解答即可.(1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC-∠CAE=∠DAE-∠CAE,即∠EAB=∠DAC.在△ACD和△ABE中,∴△ACD≌△ABE(SAS).(2)解:∵△ACD≌△ABE,∴∠ADC=∠AEB.∴∠AEB=∠ADE+∠CDE=45°+60°=105°.1.(2022,东营,导学号5892921)如图,点E在△DBC的边DB上,点A在△DBC的内部,∠DAE=∠BAC=90°,AD=AE,AB=AC.给出下列结论:①BD=CE;②∠ABD+∠ECB=45°;③BD⊥CE;④BE2=2(AD2+AB2)-CD2.其中正确的是(A)第1题图A.①②③④B.②④C.①②③D.①③④【解析】∵∠DAE=∠BAC=90°,∴∠DAB=∠EAC.∵AD=AE,AB=AC,∴△DAB≌△EAC.∴BD=CE,∠ABD=∠ECA.故①正确.∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°.故②正确.∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°,∴∠CEB=90°,即CE⊥BD.故③正确.∴BE2=BC2-EC2=2AB2-(CD2-DE2)=2AB2-CD2+2AD2=2(AD2+AB2)-CD2.故④正确.2.(2022,绍兴)在等腰三角形ABC中,顶角∠A为40°,点P在以点A为圆心,BC长为半径的圆上,且BP=BA,则∠PBC的度数为30°或110°.【解析】本题分两种情况.(1)如答图①,当点P在直线AB的右侧时,连接AP.∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠ABC=∠C=70°.∵AB=AB,AC=PB,BC=PA,∴△ABC≌△BAP.∴∠ABP=∠BAC=40°.∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=30°.(2)如答图②,当点P在直线AB的左侧时,同(1)中的方法可得∠ABP=40°.∴∠PBC=40°+70°=110°.综上所述,∠PBC的度数为3011\n°或110°.第2题答图3.(2022,深圳)如图,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是8.第3题图【解析】∵四边形ACDF是正方形,∴AC=AF,∠CAF=90°.∴∠EAC+∠FAB=90°.∵∠ABF=90°,∴∠AFB+∠FAB=90°.∴∠EAC=∠AFB.在△CAE和△AFB中,∴△CAE≌△AFB.∴EC=AB=4.∴阴影部分的面积为AB·CE=8.4.(2022,龙东,导学号5892921)如图,在Rt△BCD中,∠CBD=90°,BC=BD,点A在CB的延长线上,且BA=BC,点E在直线BD上移动,过点E作射线EF⊥EA,交CD所在直线于点F.(1)当点E在线段BD上移动时,如图①所示,求证:BC-DE=DF;(2)当点E在直线BD上移动时,如图②③所示,线段BC,DE与DF又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明.第4题图【思路分析】(1)在BA上截取BH=BE.构造全等三角形即可解决问题.(2)在题图②上的BC上截取BH=BE,同(1)法可证DF=EH.可得DE-BC=DF.在题图③上的BA上截取BH,使得BH=BE.同(1)法可证DF=HE,可得BC+DE=DF.(1)证明:如答图①,在BA上截取BH=BE,连接HE.∵AB=BC=BD,BE=BH,∴AH=ED.∵∠AEF=∠ABE=90°,11\n∴∠AEB+∠FED=90°,∠AEB+∠BAE=90°.∴∠FED=∠HAE.∵∠BHE=∠CDB=45°,∴∠AHE=∠EDF=135°.∴△AHE≌△EDF.∴HE=DF.∴BC-DE=BD-DE=BE=EH=DF.(2)解:如答图②,在BC上截取BH=BE,连接HE.同法可证DF=EH.可得DE-BC=DF.如答图③,在BA上截取BH,使得BH=BE,连接HE.同法可证DF=HE.可得BC+DE=DF.第4题答图11
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中考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 20:18:21
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