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河北省2022年中考数学复习三角形第24讲直角三角形与锐角三角函数试题含解析

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第24讲 直角三角形与锐角三角函数1.(2022,河北)如图,AB,CD相交于点O,AC⊥CD于点C.若∠BOD=38°,则∠A=52°.第1题图【解析】∵∠BOD=38°,∴∠AOC=38°.∵AC⊥CD于点C,∴∠A=90°-∠AOC=90°-38°=52°.2.(2022,河北)如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n不等于(A)第2题图A.2B.3C.4D.5【解析】如答图.将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n可以为3,4,5,故n≠2.第2题答图3.(2022,邯郸一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,则Rt△ABC的中线CD的长为(A)第3题图A.5B.6C.8D.10【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB==10.∵CD是Rt△ABC的中线,∴CD=AB=5.4.(2022,唐山路南区三模)如图,在正方形ABCD中,AE⊥BE,且AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是(C)第4题图A.16B.18C.19D.2111\n【解析】∵AE⊥BE,且AE=3,BE=4,∴在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=25.∴S阴影=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-AE·BE=25-×3×4=19.. 直角三角形中的边角关系例1(2022,扬州高邮模拟)具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是(D)A.∠A+∠B=∠CB.∠A-∠B=∠CC.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=3∠C【解析】选项A中∠A+∠B=∠C,即2∠C=180°,∴∠C=90°.∴△ABC是直角三角形.同理可证,B,C两选项中的△ABC均是直角三角形.选项D中∠A=∠B=3∠C,即7∠C=180°,三个角没有90°角,故此选项中的△ABC不是直角三角形.针对训练1(导学号5892921)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,M为AB边的中点,连接ME,MD,ED.设AB=4,∠DBE=30°,则△DEM的面积为.训练1题图【解析】∵在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,∴△ABE,△ADB是直角三角形.∴EM,DM分别是它们斜边上的中线.∴EM=DM=AB.∵ME=AB=MA,∴∠MAE=∠MEA.∴∠BME=2∠MAE.同理MD=AB=MA.∴∠MAD=∠MDA.∴∠BMD=2∠MAD.∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC=2∠DBE=60°.所以△DEM是边长为2的正三角形,所以S△DEM=.针对训练2(2022,宜城模拟)在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则BC的长为10或6.【解析】本题分两种情况.(1)如答图①,AB=10,AC=2,AD=6.在Rt△ABD和Rt△ACD中,根据勾股定理,得BD==8,CD==2,此时BC=BD+CD=8+2=10.(2)如答图②,AB=10,AC=2,AD=6.在Rt△ABD和Rt△ACD中,根据勾股定理,得BD==8,CD==2,此时BC=BD-CD=8-2=6.综上所述,BC的长为10或6.训练2答图11\n 锐角三角函数的定义例2(2022,哈尔滨道里区模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=3,则BC的长为(C)例2题图A.3sin35°B.C.3cos35°D.3tan35°【解析】∵cos35°==,∴BC=3cos35°.针对训练3(2022,唐山古冶区二模)如图,在由边长为1的小正方形构成的网格中,⊙O的半径为1,圆心O在格点上,则tan∠AED等于(C)训练3题图A.1B.C.D.【解析】∵AC=1,AB=2,∴tan∠ABC==.由圆周角定理,得∠AED=∠ABC.∴tan∠AED=.针对训练4如图,在2×2正方形网格中,以格点为顶点的△ABC的面积等于,则sin∠CAB等于(B)训练4题图A.B.C.D.【解析】如答图,作CD⊥AB于点D.由题意,得AB=AC=,BC=.由三角形的面积,得AB·CD=.∴CD=.∴sin∠CAB===.训练4答图11\n 特殊角的三角函数值例3(2022,嘉兴一模)把一把直尺与一块三角板如图所示放置.若sin∠1=,则∠2的度数为(B) 例3题图A.120°B.135°C.145°D.150°【解析】如答图.∵sin∠1=,∴∠1=45°.∵在Rt△EFG中,∠3=90°-∠1=90°-45°=45°,∴∠4=180°-∠3=135°.∵AB∥CD,∴∠2=∠4=135°.例3答图针对训练5在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,tanA=1,sinB=,你认为△ABC最确切的判断是(B)A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.锐角三角形【解析】由题意,得∠A=45°,∠B=45°.∴∠C=180°-∠A-∠B=90°.针对训练6如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等.若∠BOC=120°,则tanA的值为(A)训练6题图A.B.C.D.【解析】∵点O到△ABC三边的距离相等,∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2(∠OBC+∠OCB)=180°-2×(180°-∠BOC)=180°-2×(180°-120°)=60°.∴tanA=tan60°=. 一、选择题1.(2022,天津)cos30°的值为(B)A.B.C.1D.【解析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可.2.(2022,深圳龙岗区模拟)如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么其中的一个锐角的度数是(B)A.9°B.18°C.27°D.36°11\n【解析】设较小的锐角是x°,则另一个锐角是4x°.则x+4x=90.解得x=18.∴4x=72.所以两个锐角分别是18°和72°.3.(2022,孝感)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sinA的值为(A)第3题图A.B.C.D.【解析】在Rt△ABC中,∵AB=10,AC=8,∴BC===6.∴sinA===.4.(2022,贵阳)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为(B)第4题图A.B.1C.D.【解析】如答图,连接BC.由网格,得AB=BC=,AC=,即AB2+BC2=AC2.∴△ABC为等腰直角三角形.∴∠BAC=45°.∴tan∠BAC=1.第4题答图5.(2022,淄博,导学号5892921)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为(B)第5题图A.4B.6C.4D.8【解析】∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB,MN∥BC,且MN平分∠AMC,∴∠B=∠AMN=∠NMC,∠NCM=∠BCM=∠NMC.∴∠ACB=2∠B,NM=NC.∴∠B=30°.∵AN=1,∴MN=2.∴AC=AN+NC=3.∴BC=6.6.(2022,扬州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是(C)11\n第6题图A.BC=ECB.EC=BEC.BC=BED.AE=EC【解析】∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°.∴∠BCD=∠A.∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.∵∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∴∠BEC=∠BCE.∴BC=BE.7.(2022,贺州)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为(D)第7题图A.3B.3C.6D.6【解析】∵AD=ED=3,AD⊥BC,∴△ADE为等腰直角三角形.根据勾股定理,得AE==3.∵在Rt△ABC中,E为BC的中点,∴AE=BC.∴BC=2AE=6.8.(2022,大同模拟,导学号5892921)一直角三角形的两边长分别为6和8,则该三角形中较小锐角的正弦值为(C)A.B.C.或D.或【解析】本题分两种情况.①当斜边长是8时,直角三角形的另一直角边长是=2.∴较小锐角的正弦值为.②当两直角边长分别是6和8时,由勾股定理,得斜边长为10.∴较小锐角的正弦值为.所以该三角形中较小锐角的正弦值为或.二、填空题9.(2022,德州)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是().第9题图【解析】∵AB2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°.∴sin∠BAC==.10.11\n(2022,湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,那么可列方程为x2+32=(10-x)2.第10题图【解析】∵AC+AB=10,∴AB=10-x.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2.11.(2022,石家庄裕华区模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,以点C为圆心,CB长为半径作弧,交AB于点D;再分别以点B和点D为圆心,大于BD的长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线CE交AB于点F,则AF的长为6.第11题图【解析】由作图过程及痕迹,得CF⊥AB.∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,∴AB=2BC=8,∠CBD=60°.∴在Rt△BCF中,∠BCF=30°.∴BF=BC=2.∴AF=AB-BF=8-2=6.三、解答题12.如图,沿AC方向开山修路.为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=120°,BD=520m,∠D=30°,那么另一边的开挖点E离D多远时,正好使A,C,E三点在同一直线上?(取1.732,结果取整数)第12题图【思路分析】根据三角形内角与外角的关系可求出∠AED的度数,再根据勾股定理即可求出DE的长.解:∵∠ABD=120°,∠D=30°,∴∠AED=120°-30°=90°.在Rt△BDE中,BD=520m,∠D=30°,∴BE=260m.∴DE==260≈450(m).答:另一边的开挖点E离D约450m时,正好使A,C,E三点在同一直线上.13.(2022,北京顺义区二模)如图,在四边形ABCD中,∠BCD=90°,AD⊥DB,E为AB11\n的中点,BC∥DE.(1)求证:BD平分∠ABC;(2)连接EC,若∠A=30°,DC=,求EC的长.第13题图【思路分析】(1)直接利用直角三角形的性质得出DE=BE=AB,再利用BC∥DE得出∠BDE=∠DBC,进而得出答案.(2)利用已知得出在Rt△BCD中,∠DBC=60°,又由DC=得出DB的长,再在Rt△CDE中利用勾股定理求出EC的长.(1)证明:如答图.∵AD⊥DB,E为AB的中点,∴DE=BE=AB.∴∠1=∠2.∵BC∥DE,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3,即BD平分∠ABC.(2)解:如答图.∵AD⊥DB,∠A=30°,∴∠1=60°.∴∠3=∠2=60°.∵∠BCD=90°,∴∠4=30°.∴∠CDE=∠2+∠4=90°.∵在Rt△BCD中,∠3=60°,DC=,∴DB=2.∵DE=BE,∠1=60°,∴DE=DB=2.∴EC===.第13题答图14.(2022,保定二模)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形按图①或图②所示的方式摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图①所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.证明:连接DB,过点D作△BCD的BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab,且S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),∴b2+ab=c2+a(b-a).∴a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图②完成下面的证明.11\n将两个全等的直角三角形按图②所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.第14题图【思路分析】先连接BD,过点B作△BDE的DE边上的高BF,则BF=b-a,用两种不同的方式表示出S五边形ACBED,两者相等,整理即可得证.证明:如答图,连接BD,过点B作△BDE的DE边上的高BF,则BF=b-a.∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab,且S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a).∴a2+b2=c2.第14题答图 1.(2022,温州,导学号5892921)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成.若a=3,b=4,则该矩形的面积为(B)第1题图A.20B.24C.D.【解析】如答图.设小正方形的边长为x.∵a=3,b=4,∴AB=3+4=7.在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即(3+x)2+(x+4)2=72.整理,得x2+7x-12=0,即x2+7x=12.∴该矩形的面积为(x+3)(x+4)=x2+7x+12=24.11\n第1题答图2.(2022,天津,导学号5892921)如图,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF⊥AC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为().第2题图【解析】如答图,连接DE.∵在边长为4的等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,BD=BE=EC=2.∴DE=2,且DE∥AC.∵EF⊥AC于点F,∠C=60°,∴∠FEC=30°,∠DEF=∠EFC=90°.∴FC=EC=1.∴EF==.∵G为EF的中点,∴EG=.∴DG==.第2题答图3.(2022,贵阳)如图,在▱ABCD中,AE是BC边上的高,F是DE的中点,AB与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称.(1)求证:△AEF是等边三角形;(2)若AB=2,求△AFD的面积.第3题图【思路分析】(1)先根据AE是BC边上的高及AD∥BC证△ADE为直角三角形.由F是DE的中点知AF=EF,再结合AE与AF关于AG对称知AE=AF,即可得证.(2)记AG,EF的交点为H.由△AEF是等边三角形且AB与AG关于AE对称、AE与AF关于AG对称知∠BAE=∠GAE=30°,据此由AB=2知AE=AF=DF=,AH=,从而得出答案.(1)证明:∵AE是BC边上的高,∴AE⊥BC.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴AE⊥AD,即∠DAE=90°.11\n∵F是DE的中点,∴AF=EF=DF.∵AE与AF关于AG对称,∴AE=AF.∴EF=AE=AF.∴△AEF是等边三角形.(2)解:如答图,记AG,EF的交点为H.∵△AEF是等边三角形,且AE与AF关于AG对称,∴∠EAG=30°,AG⊥EF.∵AB与AG关于AE对称,∴∠BAE=∠GAE=30°,∠AEB=90°.∵AB=2,∴BE=1,DF=AF=AE=.∴EH=AE=,AH=.∴S△AFD=DF·AH=××=.第3题答图11

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发布时间:2022-08-25 20:18:20 页数:11
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文章作者:U-336598

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