河北省2022年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第5章图形的相似与解直角三角形第2节锐角三角函数及解直角三角形的应用中考命题规律精讲试题

第二节　锐角三角函数及解直角三角形的应用河北五年中考命题规律年份题号考查点考查内容分值总分202210认识方位角考查方式依题意画出方位角31023(2)三角函数在直角三角形中已知某个角的三角函数，求这个角325(2)三角函数利用两个三角函数的比值求两条边的比42022年未考查20229认识方位角考查方式依题意画出方位角33202222(3)解直角三角形的应用以三个垃圾存放点为背景，通过解直角三角形求垃圾运送费用4420228解直角三角形的应用以航行、方向角为背景，利用解直角三角形求距离33命题规律纵观河北近五年中考，锐角三角函数及解直角三角形，在中考中题型多为选择和解答题，分值3～10分，难度中等，解直角三角形的应用考查了4次，2022、2022年考查了对方位角的认识，其中，2022年没独立考查.河北五年中考真题及模拟　解直角三角形的应用1．(2022保定中考模拟)如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为(　D　)A.　　　B.　　　C.　　　D.(第1题图)　　　　(第2题图)2．(2022河北中考模拟)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝(　D　)A.B.C.D.7\n3．(2022河北中考模拟)在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cosB＝，那么sinA的值是(　B　)A．1B.C.D.4．(2022定州中考模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12.则下列三角函数表示正确的是(　A　)A．sinA＝　　B．cosA＝C．tanA＝　　D．tanB＝5．(2022河北中考)已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是(　D　),A),B),C),D)6．(2022河北中考)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为(　D　)A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里(第6题图)　　(第7题图)7．(2022保定十三中二模)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4.某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为__2__．8．(2022张家口九中二模)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图①)，图②是从图①引伸出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2m，两拉索底端距离AD为20m，请求出立柱BH的长．(结果精确到0.1m，≈1.732)7\n解：设DH＝xm.∵∠CDH＝60°，∠H＝90°，∴CH＝DH·tan60°＝x，∴BH＝BC＋CH＝2＋x.∵∠A＝30°，∴AH＝BH＝2＋3x.∵AH＝AD＋DH＝20＋x，∴2＋3x＝20＋x，解得x＝10－，∴BH＝2＋(10－)＝10－1≈16.3(m)．答：立柱BH的长约为16.3m.9．(2022邯郸二十五中模拟)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm.图①是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图②的△ABC.已知BC＝30cm，AC＝22cm，∠ACB＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由.(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求．理由：过点B作BD⊥AC于点D.∵BC＝30cm，∠ACB＝53°，∴sin53°＝＝≈0.8，解得：BD＝24，cos53°＝≈0.6，解得DC＝18,∴AD＝AC－DC＝22－18＝4(cm)，∴AB＝＝＝<，∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．7\n,中考考点清单)　锐角三角函数的概念在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则∠A的正弦sinA＝＝①____余弦cosA＝＝②____正切tanA＝＝③____　特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°sinα④____cosα⑤____tanα⑥____1　解直角三角形解直角三角形常用的关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则三边关系⑦__a2＋b2＝c2__两锐角关系⑧__∠A＋∠B＝90°__边角关系sinA＝cosB＝cosA＝sinB＝tanA＝　解直角三角形的应用仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫⑨__仰角__，视线在水平线下方的角叫⑩__俯角__．如图①坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和⑪__水平宽度__l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角．i＝tanα＝⑫____.如图②方位角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°7\n的水平角，叫做⑬__方位角__，如图③，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)【规律总结】解直角三角形的方法：(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题．,中考重难点突破)　锐角三角函数及特殊角三角函数值【例1】(攀枝花中考)在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋＝0，那么∠C＝________.【解析】先根据非负性，得tanA＝1，cosB＝，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．∵在△ABC中，tanA＝1，cosB＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.【答案】75°1．在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数是(　D　)A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°2．(2022天津中考)cos60°的值等于(　D　)A.B．1C.D.3．(2022日照中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为(　B　)A.B.C.D.4．(孝感中考)式子2cos30°－tan45°－的值是(　B　)A．2－2B．0C．2D．2　解直角三角形的实际应用【例2】(钦州中考)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73)【解析】由题意可先过点A作AH⊥CD于点H，在Rt△ACH中，可求出CH，进而求出CD＝CH＋HD＝CH＋AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．【答案】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，7\n由题意，可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6.在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，∴CH＝AH·tan∠CAH＝6tan30°＝6×＝2(m)．∵DH＝1.5，∴CD＝2＋1.5.在Rt△CDE中，∠CED＝60°，sin∠CED＝，∴CE＝＝4＋≈5.7(m)，∴拉线CE的长约为5.7m.5．(2022兰州中考)如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于(　C　)A.B.C.D.(第5题图)(第6题图)6．(2022石家庄十一中二模)如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是__210__cm.7．(2022保定十七中二模)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为__2.7__cm.(结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)8．(2022邢台中学二模)如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2km.有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°的方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B处测得小船在北偏西15°的方向，求点C与点B之间的距离．(上述2小题的结果都保留根号)解：(1)过点P作PD⊥AB于点D.设PD＝xkm.在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝x.在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，7\n∠PAD＝90°－60°＝30°，∴AD＝PD＝x.∵BD＋AD＝AB，∴x＋x＝2，x＝－1.∴点P到海岸线l的距离为(－1)km；(2)过点B作BF⊥AC于点F.根据题意，得∠ABC＝105°.在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝1.在△ABC中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°.在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴BC＝BF＝，∴点C与点B之间的距离为km.7