宜宾专版2022届中考数学第1编教材知识梳理篇第6章图形的相似与解直角三角形第19讲解直角三角形精讲试题

第十九讲　解直角三角形,考标完全解读)考点考试内容考试要求直角三角形的有关概念直角三角形性质定理掌握锐角三角函数了解特殊角的三角函数值了解能用锐角三角函数解直角三角形，用相关知识解决实际问题掌握经历高度测量，感受数学应用价值了解已知三角函数值计算对应锐角度数掌握直角三角形边角关系了解直角三角形运算直角三角形性质掌握30°角所对直角边等于斜边的一半了解直角三角形的应用锐角三角函数的概念、解直角三角形的方法理解,感受宜宾中考)　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2022宜宾中考)如图，CD是一高为4m的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3m到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)解：过点C作CF⊥AB于点F，设AF＝xm.则有：CF＝DB，CD＝BF＝4m，AB＝(x＋4)m.在Rt△ACF中，tanα＝tan30°＝＝＝，得CF＝x，∴BE＝BD－DE＝CF－DE＝x－3.7\n在Rt△AEB中，tanβ＝tan60°＝＝＝.得，AB＝3x－3.∴3x－3＝x＋4，解得x＝2＋.∴AB＝6＋(m)，∴树高AB为m.2．(2022宜宾中考)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B，C，测得α＝30°，β＝45°，量得BC长为100m．求河的宽度．(结果保留根号)解：过点A作AD⊥BC于点D.∵∠β＝45°，∠ADC＝90°，∴AD＝DC，设AD＝DC＝xm，则tan30°＝＝，解得x＝50(＋1)．答：河的宽度为50(＋1)m.,核心知识梳理)　锐角三角函数1．锐角三角函数的概念在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，7\n则∠A的　　　　　　续表正弦sinA＝＝余弦cosA＝＝正切tanA＝＝　特殊角的三角函数值2．特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°sinαcosαtanα1　解直角三角形3．解直角三角形解直角三角形常用的关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，则三边关系__a2＋b2＝c2__两锐角关系__∠A＋∠B＝90°__边角关系sinA＝cosB＝cosA＝sinB＝tanA＝　解直角三角形的应用4．解直角三角形的应用仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫__仰角__，视线在水平线下方的角叫__俯角__．(如图①)续表7\n坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和__水平宽度__l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角．i＝tanα＝____．(如图②)方位角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做__方位角__(如图③)，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)．【规律总结】解直角三角形的方法：(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题．,重点难点解析)　锐角三角函数概念及求值【例1】如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝.(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．(精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2)【解析】(1)过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，构造Rt△ACD求出CD＝2，在Rt△ABD中，求出BD＝16，即可得出结果；(2)在BC边上取一点M，使CM＝AC，连结AM即可．【答案】(1)如图①，过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，在Rt△ADC中，AC＝4，∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×＝2.7\n在Rt△ABD中，tanB＝＝＝，∴BD＝16.∴BC＝BD－CD＝16－2；(2)如图②，在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连结AM.∵∠ACB＝150°，∴∠AMD＝∠MAC＝15°.∴tan15°＝tan∠AMD＝＝＝＝≈0.27≈0.3.【针对训练】1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是(　C　)A．sinB＝　　　　B．sinB＝C．sinB＝D．sinB＝,(第1题图))　　　,(第2题图))2．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝____.　运用特殊角三角函数值进行计算【例2】下列式子错误的是(　D　)A．cos40°＝sin50°B．tan15°·tan75°＝1C．sin25°＋cos25°＝1D．sin60°＝2sin30°【解析】A.sin40°＝sin(90°－50°)＝cos50°，式子正确；B．tan15°·tan75°＝tan15°·cot15°＝1，式子正确；C．sin225°＋cos225°＝1正确；D．sin60°＝，sin30°＝，则sin60°＝2sin30°错误．【答案】D【针对训练】3．在△ABC中，若角A，B满足|cosA－|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的大小是(　D　)　　　　　　　　　　　　　　　　A．45°B．60°C．75°D．105°　解直角三角形的应用7\n【例3】小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆PA的高度为(　A　)A.mB.mC.mD.m【解析】在Rt△PCB′中，根据sinα＝列出方程可解决问题．【答案】A【针对训练】4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为(　A　)　　　　　　　　　　　　　A.B.－1C．2－D.,(第4题图))　　　,(第5题图))5．如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3m，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝10m，则旗杆BC的高度为(　A　)A．5mB．6mC．8mD．(3＋)m,当堂过关检测)1.如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为(　A　)A.　　　B.　　　C.　　　D.7\n,(第1题图))　　　,(第2题图))2．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是(　B　)A.　B.C.D.3．a，b，c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，且a∶b∶c＝1∶∶，则cosB的值为(　B　)A.B.C.D.4．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13m至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6m至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)(　A　)A．8.1mB．17.2mC．19.7mD．25.5m7