河北省2022年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第6章图形的变化第2节平移与旋转精讲试题

第二节　平移与旋转,河北五年中考命题规律)年份题号考查点考查内容分值总分202223图形旋转的相关计算以扇形为背景：(1)证明全等；(2)求弧长；(3)考查外心992022年未考查202226图形旋转的探究以矩形和半圆为背景：(1)点的位置；(2)两点间的最小值1414202223图形旋转的相关计算以三角形旋转为背景：(1)证明全等；(2)求角度；(3)证明菱形1111202224(1)图形旋转的相关证明以圆为背景，涉及线段旋转：(1)证明两条线段相等55命题规律图形的平移与旋转在河北中考中每年最多设置2道题，所占分值为5～14分，题型以解答题为主，选择、填空题中也有所涉及，综合性较强．分析近五年河北中考试题可以看出，本课时的常考类型有：(1)图形平移的相关计算；(2)图形旋转的相关计算．但2022年河北中考没单独在此考点命题.,河北五年中考真题及模拟)　图形平移的相关计算1．(2022保定中考模拟)边长为1和2的两个正方形的一边在同一水平线上，小正方形沿水平线自左向右匀速平移穿过大正方形，如图反映了这个运动的全过程．设小正方形的运动时间为t，两正方形重叠部分为s，则s与t的函数图像大约为(　B　),A)　　,B)　　,C)　　,D)2．(2022保定十七中一模)如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于__4或8__.　图形旋转的相关计算5\n3．(2022沧州十三中一模)如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是(　B　)A．70°B．65°C．60°D．55°4．(2022张家口中考模拟)如图，线段OA垂直射线OB于点O，OA＝4，⊙A的半径是2.将OB绕点O沿顺时针方向旋转，当OB与⊙A相切时，OB旋转的角度为__60°或120°__．,(第4题图))　　　,(第5题图))5．(2022邯郸中考模拟)如图所示，在正方形ABCD中，AD＝1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为__2－__．6．(2022河北中考)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求∠ACE的度数；(3)求证：四边形ABFE是菱形．解：(1)根据图形旋转的性质可得△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC＝AD＝AE.∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)；(2)根据图形旋转的性质可知，∠CAE＝100°，且AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC＝(180°－100°)÷2＝40°，∴∠ACE的度数为40°；(3)∵∠BAC＝∠ACE＝40°，∴BA∥CE.由(1)知∠ABD＝∠ACE＝40°，∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝140°，∴∠BAE＋∠ABD＝180°，∴AE∥BD.∴四边形ABFE是平行四边形．又∵AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．,中考考点清单)　图形的平移1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质：(1)平移前后，对应线段__平行且相等__、对应角相等；(2)各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；5\n(3)平移前后的图形全等．4．作图步骤：(1)根据题意，确定平移的方向和平移的距离；(2)找出原图形的关键点；(3)按平移方向和平移距离、平移各个关键点，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．　图形的旋转5．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．6．三大要素：旋转中心、旋转方向和__旋转角度__．7．性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等．8．作图步骤：(1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；(2)找出原图形的关键点；(3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【方法技巧】坐标系中的旋转问题：1．关于原点对称的点的坐标的应用．其基础知识为：点P(x，y)关于原点对称点的坐标为(－x，－y)，在具体问题中一般根据坐标特点构建方程组来求解，常用到的关系式：点P(a，b)，P1(m，n)关于原点对称，则有2．坐标系内的旋转作图问题．与一般的旋转作图类似，其不同点在于若是作关于原点的中心对称图形，可以根据点的坐标规律，直接在坐标系内找到对应点的坐标，描点后连线．,中考重难点突破)　图形平移的相关计算【例1】如图，已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA.(1)求四边形CEFB的面积；(2)试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；(3)若∠BEC＝15°，求AC的长．【解析】(1)根据平移的性质和平行四边形的性质可得S△EFA＝S△BAF＝S△ABC＝3，进而求即可；(2)容易证▱EFBA为菱形，再据菱形的对角线的性质可得AF与BE的位置关系；(3)过点B作高，用面积法求解即可．【答案】解：(1)由平移的性质得：AF∥BC且AF＝BC，△EFA≌△ABC，∴四边形AFBC为平行四边形．∴S△EFA＝S△BAF＝S△ABC＝3.∴四边形CEFB的面积为9；(2)BE⊥AF.理由如下：由(1)知四边形AFBC为平行四边形，∴BF∥AC且BF＝CA.又∵AE＝CA，∴BF∥AE且BF＝AE.∴四边形EFBA为平行四边形．又∵AB＝AC，∴AB＝AE.∴▱EFBA为菱形，∴BE⊥AF；(3)过点B作BD⊥AC于点D，∠BAC＝∠ABE＋∠AEB＝15°×2＝30°.在Rt△ABD中，sin30°＝＝，故AB＝2BD＝AC.S△ABC＝AC·BD＝AC·AB＝AC2＝3，∴AC＝2.5\n1．(泉州中考)如图，△ABC沿着由点B到E的方向，平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为(　A　)A．2　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．7　图形旋转的相关计算【例2】如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′(如图②)．(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；(2)当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．【解析】(1)由于AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，AC边的中点，则AD＝AE＝AB，再根据旋转的性质得到∠B′AD＝∠C′AE＝α，AB′＝AB，AC′＝AC，则AB′＝AC′，根据三角形全等的判定方法可得到△B′AD≌△C′AE(SAS)，则有DB′＝EC′；(2)由于DB′∥AE，根据平行线的性质得到∠B′DA＝∠DAE＝90°，又因为AD＝AB＝AB′，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠AB′D＝30°，利用互余即可得到旋转角∠B′AD的度数．【答案】解：(1)DB′＝EC′.证明如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，AC边的中点，∴AD＝AE＝AB.∵△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°<α<180°)得到△AB′C′，∴∠B′AD＝∠C′AE＝α，AB′＝AB，AC′＝AC，∴AB′＝AC′，在△B′AD和△C′AE中，∴△B′AD≌△C′AE(SAS)，∴DB′＝EC′；(2)∵DB′∥AE，∴∠B′DA＝∠DAE＝90°.在Rt△B′DA中，∵AD＝AB′，∴∠AB′D＝30°，∴∠B′AD＝90°－30°＝60°，即旋转角α的度数为60°.2．(2022石家庄四十二中三模)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别是A(－2，3)，B(－1，2)，C(－3，1)，△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1.(1)在正方形网格中作出△A1B1C1；(2)在旋转过程中，点A经过的路径的长度为________；(3)在y轴上找一点D，使DB＋DB1的值最小，并求出D点的坐标．解：(1)如图所示；(2)π；5\n(3)∵点B，B1在y轴两旁，连接BB1交y轴于点D，设D′为y轴上异于D的点，显然D′B＋D′B1>DB＋DB1，∴当点D是BB1与y轴交点时，DB＋DB1最小．设直线BB1的表达式为y＝kx＋b，依据题意，得解得∴y＝－x＋，∴D.5