湖南省2022年中考数学总复习第二单元方程组与不等式组课时训练08一元二次方程及其应用练习

一元二次方程及其应用08一元二次方程及其应用限时:30分钟夯实基础1.将一元二次方程4x2+7=3x化成一般式后,二次项系数和一次项系数分别为(　　)A.4,3B.4,7C.4,-3D.4x2,-3x2.一元二次方程x2-6x-5=0配方后可变形为(　　)A.(x-3)2=14B.(x-3)2=4C.(x+3)2=14D.(x+3)2=43.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1,则另一个根为(　　)A.-2B.2C.4D.-34.[2022·大连]如图K8-1,有一张矩形纸片,长10cm,宽6cm,在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程为(　　)A.10×6-4×6x=32B.(10-2x)(6-2x)=32C.(10-x)(6-x)=32图K8-1D.10×6-4x2=325.[2022·湘潭]若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根,则实数m的取值范围是(　　)A.m≥1B.m≤110\nC.m>1D.m<16.[2022·仙桃]若α,β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根,则2α2+3αβ+5β的值为(　　)A.-13B.12C.14D.157.[2022·淮安]一元二次方程x2-x=0的根是　　　　. 8.[2022·南京]设x1,x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根,且x1+x2=1,则x1=　　　　,x2=　　　　. 9.[2022·梧州]解方程:2x2-4x-30=0.10.[2022·十堰]已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)若此方程的两实数根x1,x2满足x12+x22=11,求k的值.10\n11.[2022·绥化]已知关于x的一元二次方程x2-5x+2m=0有实数根.(1)求m的取值范围;(2)当m=52时,方程的两根分别是矩形的长和宽,求该矩形外接圆的直径.能力提升12.[2022·泰安]一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况是(　　)A.无实数根B.有一个正根,一个负根C.有两个正根,且都小于3D.有两个正根,且有一根大于313.[2022·潍坊]定义[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3.函数y=[x]的图象如图K8-2所示,则方程[x]=12x2的解为(　　)A.0或2B.0或2C.1或-2D.2或-2图K8-210\n14.[2022·泸州]已知x1,x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两实数根,则12x1+1+12x2+1的值是　　　　. 15.如图K8-3,已知一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行,途中接到台风警报,台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动,距台风中心2022海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时,测得台风中心移到位于点A正南方向B处,且AB=100海里,若这艘轮船自A处按原速度继续航行,在途中会不会遇到台风?若会,试求轮船最初遇到台风的时间;若不会,请说明理由.图K8-316.[2022·江汉]已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0.(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.10\n17.[2022·东营]关于x的方程2x2-5xsinA+2=0有两个相等的实数根,其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角.(1)求sinA的值;(2)若关于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长,求△ABC的周长.拓展练习18.[2022·福建A卷]已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+a+1=0有两个相等的实数根.下列判断正确的是10\n(　　)A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C.1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D.1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根10\n参考答案1.C　2.A　3.A　4.B　5.D　6.B7.x1=0,x2=1　8.-2,39.解:∵2x2-4x-30=0,∴x2-2x-15=0,∴(x-5)(x+3)=0.∴x1=5,x2=-3.10.解:(1)∵关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根,∴Δ≥0,即[-(2k-1)]2-4×1×(k2+k-1)=-8k+5≥0.解得k≤58.(2)由根与系数的关系,可得x1+x2=2k-1,x1x2=k2+k-1,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2k-1)2-2(k2+k-1)=2k2-6k+3.∵x12+x22=11,∴2k2-6k+3=11,解得k=-1或k=4.∵k≤58,∴k=4舍去.∴k=-1.11.解:(1)∵方程x2-5x+2m=0有实数根,∴Δ=(-5)2-4×2m≥0.∴m≤258.10\n∴当m≤258时,原方程有实数根.(2)当m=52时,原方程可化为x2-5x+5=0,设方程的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=5,x1·x2=5.∴该矩形对角线长为x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=25-10=15.∴该矩形外接圆的直径是15.12.D　[解析]根据x2-4x+2=0,解得x1=2+2,x2=2-2,故选D.13.A　[解析]当1≤x<2时,12x2=1,解得x1=2,x2=-2(舍);当0≤x<1时,12x2=0,x=0;当-1≤x<0时,12x2=-1,方程没有实数解;当-2≤x<-1时,12x2=-2,方程没有实数解.所以方程[x]=12x2的解为0或2.14.6　[解析]由根与系数的关系可得x1+x2=2,x1x2=-1,原式=2x1+2x2+2(2x1+1)(2x2+1)=2(x1+x2)+24x1x2+2(x1+x2)+1=2×2+24×(-1)+2×2+1=6.15.解:设途中会遇到台风,且最初遇到的时间为t时,此时轮船位于C处,台风中心移到E处,如图.连接CE,则AC=20t,AE=AB-BE=100-40t,AC2+AE2=EC2.∴(20t)2+(100-40t)2=(2022)2,即400t2+10000-8000t+1600t2=4000.∴t2-4t+3=0,(t-1)(t-3)=0.解得t1=1,t2=3(不合题意,舍去).10\n答:轮船在途中会遇到台风,最初遇到的时间为离开A处1小时.16.解:(1)∵方程有两个实数根,∴Δ=(2m+1)2-4×1×(m2-2)=4m+9.∵Δ≥0,∴4m+9≥0,m≥-94.∴m的最小整数值为-2.(2)∵方程的两个实数根为x1,x2,∴x1+x2=-(2m+1),x1·x2=m2-2.又∵(x1-x2)2+m2=21,∴(x1+x2)2-4x1·x2+m2=21.∴[-(2m+1)]2-4(m2-2)+m2=21.∴m1=2,m2=-6.∵m≥-94时,方程有两个实数根,∴m=2.17.解:(1)∵关于x的方程有两个相等的实数根,∴Δ=25sin2A-16=0.∴sin2A=1625.∴sinA=±45.∵∠A为锐角,∴sinA=45.(2)∵y2-10y+k2-4k+29=0,∴(y-5)2+(k-2)2=0.∴k=2,y1=y2=5.∴△ABC是等腰三角形,且腰长为5.分两种情况:①∠A是顶角时,如图,AB=AC=5,过点B作BD⊥AC于点D.10\n在Rt△ABD中,∵sinA=45,∴BD=4,AD=3.∴DC=2.∴BC=25.∴△ABC的周长为10+25.②∠A是底角时,如图,BA=BC=5,过点B作BD⊥AC于点D.在Rt△ABD中,∵sinA=45,∴BD=4,AD=DC=3,∴AC=6.∴△ABC的周长为16.综上,△ABC的周长为10+25或16.18.D　[解析]因为关于x的方程(a+1)x2+2bx+a+1=0有两个相等的实数根,所以Δ=0.所以4b2-4(a+1)2=0,(b+a+1)(b-a-1)=0.解得a-b+1=0或a+b+1=0.所以1是关于x的方程x2+bx+a=0的根,或-1是关于x的方程x2+bx+a=0的根;另一方面,若1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根,则必有a+b=-1,a-b=-1,解得a=-1,b=0,此时有a+1=0,这与已知(a+1)x2+2bx+a+1=0是关于x的一元二次方程相矛盾,所以1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根.故选D.10