重庆市2022中考数学第一部分考点研究第四章第二节三角形及其性质检测试题
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第二节三角形及其性质玩转重庆8年中考真题(2022~2022年)命题点1 三角形的基本性质(近8年未单独考查,一般是在平行线性质求角度中涉及考查)命题点2 三角形中的重要线段(近8年未单独考查)命题点3 等腰三角形的判定及性质(高频)命题点4直角三角形的判定及性质(高频)1.(2022重庆10题4分)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且保持AD=CE,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,下列结论:①△DFE是等腰直角三角形;②四边形CDFE不可能为正方形;③DE长度的最小值为4;④四边形CDFE的面积保持不变;⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是()A.①②③B.①④⑤C.①③④D.③④⑤第1题图第2题图2.(2022重庆20题6分)已知:如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)3.(2022重庆A卷25题12分)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,点E是∠BAC角平分线上一点.过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点.DH⊥AC,垂足为H,连接EF,HF.(1)如图①,若点H是AC的中点,AC=,求AB,BD的长;(2)如图①,求证:HF=EF;(3)如图②,连接CF,CE.猜想:△CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由.第3题图5\n【拓展猜押】已知△ABC,分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,点G、F分别是DC、BE的中点.(1)如图①,若∠DAB=60°,则∠AFG=;如图②,若∠DAB=90°,则∠AFG=;(2)如图③,若∠DAB=α,试探究∠AFG与α的数量关系,并给予证明;(3)如果∠ACB为锐角,AB≠AC,∠BAC≠90°,点M在线段BC上运动,连接AM,以AM为一边,以点A为直角顶点,且在AM的右侧作等腰直角△AMN,连接NC.试探究:若NC⊥BC(点C、M重合除外),则∠ACB等于多少度?拓展猜押题图【答案】命题点4直角三角形的判定及性质1.B【解析】解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形.作常规辅助线连接CF,由SAS定理可证△CFE和△AFD全等,从而可证∠DFE=90°,DF=EF.所以△DEF是等腰直角三角形.可证①正确,②错误.再由割补法可知④是正确的.判断③,⑤比较麻烦,因为△DEF是等腰直角三角形,DE=DF,当DF与AC垂直,即DF最小时,DE取最小值45\n,故③错误.△CDE最大的面积等于四边形CDFE的面积减去△DEF的最小面积,由③可知⑤是正确的.2.解:∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°-90°-60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC===2,∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2+4+2=6+2.答:△ABC的周长是6+2.3.(1)解:在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AC=2,∴AB=2AC=4.(1分)∵点H是AC中点,∴AH=AC=.(2分)∵AD⊥AB∴∠DAH=90°-60°=30°.∵DH⊥AC,∴在Rt△ADH中,cos30°=,∴AD===2,(3分)∴BD==2.(4分)(2)证明:连接AF,如解图①.在Rt△ABD中,F为BD中点,∴DF=AF,∴∠FDA=∠FAD.∵∠BAC=60°,AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠BAE=30°,由(1)知∠DAH=30°,第3题解图①∴∠DAE=∠CAE+∠CAD=30°+30°=60°.(5分)∵DH⊥AC,∴∠ADH=60°=∠DAE,又∵AD=AD,∠AHD=∠DEA,∴△AHD≌△DEA(AAS),∴DH=AE.(6分)5\n∵∠FDA=∠FAD,∠ADH=∠DAE,∴∠FDH=∠FAE,(7分)∴△FDH≌△FAE(SAS),∴HF=EF.(3)解:△CEF是等边三角形.(9分)证明:取AB的中点M,连接FM、CM,如解图②,∵F为BD的中点,M为AB的中点,∴FM∥AD且FM=AD.由(2)知,∠CAE=30°,且在Rt△ADE中,AE=AD,第3题解图②∴AE=MF.在Rt△ABC中,M为AB中点,∴AM=CM.∵∠MAC=60°,∴△ACM为等边三角形,(8分)∴AC=CM,∠AMC=∠ACM=60°.∵∠AMF=90°,∴∠CMF=90°-60°=30°=∠CAE,∴△CAE≌△CMF(SAS),(11分)∴CE=CF,∠ACE=∠MCF,∴∠ECF=∠ECM+∠MCF=∠ECM+∠ACE=60°,∴△CEF为等边三角形.(12分)【拓展猜押】解:(1)60°;45°.(2)∠AFG=90°-.证明:∵∠DAB=∠CAE,∴∠DAC=∠BAE.又AD=AB,AC=AE,∴△DAC≌△BAE(SAS),拓展猜押题解图①∴DC=BE,∠ADC=∠ABE.连接AG,如解图①,点G、F分别是DC、BE的中点,∴DG=BF,∵AD=AB,∴△DAG≌△BAF(SAS),∴∠DAG=∠BAF,AG=AF,∴∠GAF=∠DAB=α,∠AFG=∠AGF,∴∠AFG=90°-.(3)如解图②,延长CN至点H,使NH=MC,连接AH.∵NC⊥BC,∠MAN=90°,∴∠AMC+∠ANC=180°,5\n∵∠ANH+∠ANC=180°,∴∠AMC=∠ANH,在△AMC与△ANH中,拓展猜押题解图②,∴△AMC≌△ANH(SAS),∴AC=AH,∠MAC=∠NAH,∴∠HAC=∠MAN=90°,∴∠ACH=45°,∴∠ACB=45°.5
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