重庆市2022中考数学第一部分考点研究第五章第二节矩形菱形正方形检测试题
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第五章四边形第二节 矩形、菱形和正方形玩转重庆8年中考真题(2022~2022年)命题点1 矩形的性质及相关计算(高频)1.(2022重庆B卷8题4分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°第1题图第2题图2.(2022重庆B卷7题4分)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为()A.6cmB.4cmC.2cmD.1cm3.(2022重庆B卷18题4分)如图,AC是矩形ABCD的对角线,AB=2,BC=2,点E,F分别是线段AB,AD上的点,连接CE,CF,当∠BCE=∠ACF,且CE=CF时,AE+AF=.第3题图4.(2022重庆A卷24题10分)如图,在矩形ABCD中,点E、F分别是边AB、CD上的点,AE=CF,连接EF、BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.(1)求证:OE=OF;(2)若BC=2,求AB的长.第4题图8\n【变式改编】(2022重庆B卷8题)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,则AC为()A.6B.8C.10D.12变式改编题图命题点2 菱形的性质及相关计算(高频)1.(2022重庆A卷15题4分)如图,菱形ABCD中,∠A=60°,BD=7,则菱形ABCD的周长为.第1题图2.(2022重庆24题10分)已知:如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.(1)若CE=1,求BC的长;(2)求证:AM=DF+ME.第2题图8\n【拓展猜押1】如图,在菱形ABCD中,AB=BD.点E,F分别在BC,CD边上,且CE=DF,BF与DE交于点G.若BG=2,DG=3,则四边形ABGD的面积为.拓展猜押1题图命题点3 正方形的性质及相关计算(高频)1.(2022重庆10题4分)如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确结论的个数是()第1题图A.1B.2C.3D.42.(2022重庆B卷18题4分)如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,连接BE.过点C作CF⊥BE,垂足是F,连接OF,则OF的长为.第2题图第3题图3.(2022重庆B卷18题4分)如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是AB边上一点,G是AD延长线上一点,BE=DG,连接EG,CF⊥EG交EG于点H,交AD于点F,连接CE,BH.若BH=8,则FG=.【拓展猜押2】如图,将边长为6的正方形ABCD折叠,使点D落在AB边的中点E处,折痕为FH,点C落在点Q处,EQ与BC交于点G,则△EBG的周长是cm.拓展猜押2题图8\n【答案】命题点1 矩形的性质及相关计算1.B【解析】∵四边形ABCD是矩形,AC与BD相交于点O,∴OB=OC,∵∠ACB=30°,∴∠DBC=30°,∴∠AOB=∠ACB+∠DBC=60°.2.C【解析】∵△AB1E是△ABE折叠得到的,∴△AB1E≌△ABE,∴AB=AB1=6cm,∠B=∠AB1E=∠BAD=90°,∴四边形ABEB1是正方形,∴BE=6cm.∵BC=8cm,∴EC=BC-BE=8-6=2cm.3.【解析】如解图,作FG⊥AC于G点,∴∠FGC=∠B.∵EC=FC,∠BCE=∠ACF,∴△BCE≌△GCF(AAS),∴BC=CG=2.在Rt△ABC中,AB=2,∴tan∠BAC=,∴∠BAC=60°,∠GAF=30°,AC=2AB=4.∴AG=4-2.在Rt△AFG中,tan30°=,∴GF==BE,∴AF=2GF=,AE=2-,∴AF+AE=+2-=2+==.第3题解图4.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD.(1分)∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC.(2分)∵AE=CF,∴△AEO≌△CFO(ASA).(3分)∴OE=OF.(4分)(2)解:如解图,连接BO.∵OE=OF,BE=BF,第4题解图∴BO⊥EF,且∠EBO=∠FBO.∴∠BOF=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCF=90°.又∵∠BEF=2∠BAC,∠BEF=∠BAC+∠EOA,∴∠BAC=∠EOA,∴AE=OE.∵AE=CF,OE=OF,∴OF=CF.8\n又∵BF=BF,∴△BOF≌△BCF(HL),(6分)∴∠OBF=∠CBF,(7分)∴∠CBF=∠FBO=∠OBE.∵∠ABC=90°,∴∠OBE=∠ABC=30°,(8分)∴∠BEO=60°,∴∠BAC=30°.(9分)∵tan∠BAC=,∴tan30°=,即=,∴AB=6.(10分)【变式改编】B【解析】∵四边形ABCD是矩形,AC与BD相交于点O,∴OB=OA,∴∠OAB=∠OBA,又∵∠AOB=60°,∴∠OAB=∠OBA=60°,∴△ABO为等边三角形,∴OA=AB=4,∴AC=2OA=8.命题点2 菱形的性质及相关计算1.28【解析】∵菱形的四条边都相等,∴AB=AD,又∵∠A=60°,则△ABD是等边三角形,∴AB=BD=7,则菱形ABCD的周长为4×7=28.2.(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∴∠1=∠ACD,(1分)∵∠1=∠2,∴∠ACD=∠2,∴MC=MD,(2分)∵ME⊥CD,∴CD=2CE,(3分)∵CE=1,∴CD=2,(4分)∴BC=CD=2.(5分)(2)证明:∵F为边BC的中点,∴BF=CF=BC,∴CF=CE,在菱形ABCD中,AC平分∠BCD,∴∠ACB=∠ACD,(6分)在△CEM和△CFM中,∵,∴△CEM≌△CFM(SAS),8\n∴ME=MF,(7分)如解图,延长AB交DF的延长线于点G,∵AB∥CD,∴∠G=∠2,∵∠1=∠2,∴∠1=∠G,第2题解图∴AM=MG,(8分)在△CDF和△BGF中,∵,∴△CDF≌△BGF(AAS),∴GF=DF,(9分)∵GM=GF+MF,∴AM=DF+ME.(10分)【拓展猜押1】【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∵AB=BD,∴AB=AD=BD,∴△ABD是等边三角形,∴△DBC是等边三角形.∵CE=DF,∠C=∠BDF,DC=BD,∴△DEC≌△BFD(SAS),∴∠EDC=∠DBF,∴∠BGE=∠BDG+∠DBG=∠BDG+∠GDF=60°.如解图,过点D作DM⊥BF于M,∵∠BGE=60°,∴∠DGM=60°,∵DG=3,∴DM=DG·sin60°=,GM=DG·cos60°=.∴S△BGD=BG·DM=×2×=.∵BD==,∴S△ABD==,∴四边形ABGD的面积为S△ABD+S△BGD=+=.拓展猜押1题解图命题点3 正方形的性质及相关计算C【解析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定、三角形面积的计算等.8\n序号逐项分析结论①由折叠的性质知DE=EF=2,AD=AF,∠AFE=∠D=90°.又因为AB=AF,由HL可证△ABG≌△AFG√②由AB=6,CD=3DE可得DE=2,CE=4.设BG=x,则FG=BG=x,GC=6-x.在Rt△CEG中,由勾股定理可得:GE2=GC2+CE2,所以(x+2)2=(6-x)2+42,解得x=3,所以BG=GF=3,GC=BC-BG=3,所以BG=GC√③由BG=GC可得∠GCF=,又∠AGB=∠AGF=,所以∠GCF=∠AGB,所以AG∥CF√④在Rt△GCE中,S△GCE=GC·CE=6,又因为GF=3,EF=2,所以S△FGC=S△GCE=×2.【解析】如解图,过点O作OG⊥OF,交BF于点G,∵AC与BD是正方形ABCD的对角线,∴∠BOC=90°,则∠BOG=∠FOC,又∵OB=OC,∠BGO=90°+∠OFG,∠OFC=90°+∠OFG,∴∠BGO=∠OFC,则△OBG≌△OCF,∴OG=OF,BG=CF,∵CD=6,DE=2CE,解得CE=2,在Rt△BEC中,由勾股定理得,BE===2,∵∠ECB=∠CFE=90°,∠OBG=∠FCO,∠OBC=∠DCO=45°,∴∠EBC=∠FCE,∴△CEF∽△BEC,则CE2=EF·BE,则EF===,∴BF=BE-EF=,在Rt△FEC中,利用勾股定理可得,CF===,故GF=BF-BG=-=,在等腰Rt△OGF中,OF=GF·sin45°=×=.8\n第2题解图3.5【解析】如解图所示,连接CG,在△CGD与△CEB中,∴△CGD≌△CEB(SAS),∴CG=CE,∠GCD=∠ECB,∴∠GCE=90°,即△GCE是等腰直角三角形.又∵CH⊥GE,∴CH=EH=GH.过点H作AB、BC的垂线,垂足分别为点M、N,如解图,则∠MHN=90°,又∵∠EHC=90°,∴∠1=∠2,∴∠HEM=∠HCN.在△HEM与△HCN中,,∴△HEM≌△HCN(ASA),∴HM=HN,∴四边形MBNH为正方形.∵BH=8,∴BN=HN=4,∴CN=BC-BN=6-4=2.在Rt△HCN中,由勾股定理得:CH===2,∴GH=CH=2.∵HM∥AG,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3.又∵∠HNC=∠GHF=90°,∴Rt△HCN∽Rt△GFH.∴=,即=,∴FG=5.第3题解图【拓展猜押2】12【解析】由翻折的性质得,DF=EF,设EF=x,则AF=6-x,∵点E是AB的中点,∴AE=BE=×6=3,在Rt△AEF中,AE2+AF2=EF2,即32+(6-x)2=x2,解得x=,∴AF=6-=,∵∠FEG=∠D=90°,∴∠AEF+∠BEG=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠AFE=∠BEG,又∵∠A=∠B=90°,∴△AEF∽△BGE,∴==,即==,解得BG=4,EG=5,∴△EBG的周长为3+4+5=12.8
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