重庆市2022中考数学第一部分考点研究第四章第五节解直角三角形及其检测试题

解直角三角形及其实际应用命题点1　锐角三角函数（仅考查1次）1.（2022重庆A卷6题4分）计算6tan45°-2cos60°的结果是()A.4B.4C.5D.5命题点2　直角三角形的边角关系（高频）1.（2022重庆B卷9题4分）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为()A.2B.2C.+1D.+1第1题图2.(2022重庆20题6分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=.点D为BC边上一点，且BD=2AD，∠ADC=60°.求△ABC的周长.(结果保留根号)第2题图3.（2022重庆A卷20题7分）如图,△ABC中，AD⊥BC,垂足是D，若BC=14，AD＝12，tan∠BAD=,求sinC的值.第3题图【变式改编】（2022重庆20题）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点6\nD为BC边上一点，CD＝1，且cos∠ADC=，BD＝2AD,求tan∠ABC的值.变式改编题图命题点3　解直角三角形的实际应用1.（2022重庆A卷24题10分）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米.（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务.施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据:tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）第1题图6\n【拓展猜押】如图，我国南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上.（1）求CD两点的距离；（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值.（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）拓展猜押题图【答案】命题点1　锐角三角函数1.D【解析】分别把tan45°的值，cos60°的值代入进行计算即可.6tan45°-2cos60°=6×1-2×=6-1=5.命题点2　直角三角形的边角关系1.D【解析】本题需要利用特殊角的三角函数值来进行计算.tan45°=1，tan30°=，∵CD⊥AB，∴△ADC与△CDB都是直角三角形.又∵∠A=45°，∠B=30°，CD=1，∴AD=＝＝1，BD=＝＝，∴AB=BD+AD=+1.6\n2.解：在Rt△ADC中，∵sin∠ADC=,∴AD===2.（1分）∴BD=2AD=4.（2分）∵tan∠=,∴DC===1.（3分）∴BC=BD+DC=5.（4分）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB==＝2.（5分）∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+5+.（6分）3.解：∵AD⊥BC,∴tan∠BAD=,(1分)∵tan∠BAD＝,AD=12,∴=,(2分)∴BD=9.(3分)∴CD=BC-BD=14-9=5.(4分)在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝==13,(6分)∴sinC==.（7分）【变式改编】解：在Rt△ABC中，∠C=90°,CD=1,cos∠ADC=,∴AD=CD==3,在Rt△ACD中，AC==2.又∵BD=2AD，∴BD=6，∴BC=BD+CD=7.6\n∴tan∠ABC==.命题点3　解直角三角形的实际应用1.解：（1）在Rt△PME中，tan31°=，∴ME=≈=50（米）.(2分)在Rt△PNE中，tan45°=，∴NE===30（米）,(4分)∴MN=ME-NE＝50-30=20（米），答：两渔船M、N之间的距离约为20米.(5分)（2）如解图，过点D作DG⊥AB于点G，由题意知DG=24（米）.∵AD的坡度i=1∶0.25，∴=，∴AG=0.25×24=6（米）.∵DH的坡度i=1∶1.75，∴=，∴GH=1.75×24=42（米）,∴AH=GH-AG=42-6=36（米）,(6分)∴S△AHD=2=432（平方米）,∴一共要填筑土石方432×100=43200立方米.(7分)设原计划平均每天填筑土石方x立方米，则由题意列方程为：，(9分)两边乘以2，得2(43200-10)-(43200-10)=40，解得x=864.经检验，x=864是原方程的根，且符合题意，∴原计划平均每天填筑土石方864立方米.(10分)第1题解图6\n【拓展猜押】解：（1）如解图，过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，∵在Rt△CGB中，∠CBG=90°-60°=30°，∴CG=BC=×（30×)=7.5，∵∠DAG=90°，∠DFG=90°，∠FDA=90°,∴四边形ADFG是矩形，∴GF=AD=1.5，∴CF=CG-GF=7.5-1.5=6，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∵∠DCF=53°，∴cos∠DCF=，∴CD=≈=10（海里）.答：CD两点的距离是10海里.拓展猜押题解图（2）设渔政船调整方向后t小时能与捕鱼船相会合，由题意知CE=30t，捕鱼船航速为1.5×2＝3，即每小时3海里，DE=3t，∠EDC=53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD=∠CHE=90°，∴sin∠EDH=，∴EH=ED·sin53°≈3t×=t，在Rt△EHC中，sin∠ECD===.答：∠ECD的正弦值为.6