2025年高考数学一轮复习教学课件第1章 第5课时　一元二次方程、不等式

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第一章集合、常用逻辑用语、不等式 第5课时　一元二次方程、不等式对应学生用书第12页 考试要求能从实际情景中抽象出一元二次不等式.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. 链接教材　夯基固本第5课时　一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 提醒：解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根．判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集___________________Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集____________________{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}∅∅ [常用结论]1．分式不等式的解法(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)0(≤0)⇔2．绝对值不等式：|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数确定．(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0．()(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2．()(3)0等价于(x－a)(x－b)≥0．()(4)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0．()√√×× 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P53练习T1改编)不等式(x－1)(x－3)>0的解集为()A．{x|x<1}B．{x|x>3}C．{x|x<1或x>3}D．{x|1<x<3}C[由方程(x－1)(x－3)＝0，可得方程的两根为x1＝1，x2＝3，结合一元二次不等式的解法，可得不等式(x－1)(x－3)>0的解集为{x|x<1或x>3}，故选C.]2．(人教A版必修第一册P55习题2.3T3改编)已知集合A＝{x|x2≤25}，B＝，则A∩B＝()A．(－∞，－5]B．[－5，－1)C．[－5，－1]∪[5，7)D．[－5，－1]D[因为x2≤25，所以集合A＝{x|－5≤x≤5}．因为0，则解得x＞7或x－1，所以集合B＝{x|x＞7或x－1}．所以A∩B＝[－5，－1].故选D.]√√ 3．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．{a|a≥0}[当a＝0时，不等式为3＞0，满足题意；当a≠0时，需满足解得a＞0，综上可得，a的取值范围为{a|a≥0}．]4．(人教A版必修第一册P55练习T2改编)如图，在长为12m，宽为10m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求花卉带的宽度相同且草坪面积不超过总面积的，那么花卉带的宽度的取值范围是______(单位：m)．[1，5)[设花卉带的宽度为x米，则所以0<x<5，因为草坪面积不超过总面积的，所以(12－2x)(10－2x)×12×10，解得1≤x<5，所以花卉带的宽度的取值范围是[1，5)．]{a|a≥0}[1，5) 典例精研　核心考点第5课时　一元二次方程、不等式考点一　一元二次不等式的解法及“三个二次”之间的关系[典例1](1)(2024·东北师大附中模拟)若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－2，4)，则不等式≤0的解集为_______________________．(2)不等式0<x2－x－2≤4的解集为_______________________．(1)(－∞，4)∪[8，＋∞)(2){x|－2≤x<－1或2<x≤3}[(1)因为ax2＋bx＋c>0的解集为(－2，4)，则a<0，且对应方程的根为－2和4，所以－＝－2＋4＝2，＝－2×4＝－8，且a<0，不等式≤0可化为≤0，则≤0，即≤0，解得x<4或x≥8.(2)原不等式等价于即解得故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}．](－∞，4)∪[8，＋∞){x|－2≤x<－1或2<x≤3} 名师点评解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式的解集为R或∅)．(3)求：求出对应的一元二次方程的根(解集的端点对应方程的根)．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． √[跟进训练]1．(多选)(2024·四川南充模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x－2或x≥3}，则下列说法正确的是()A．a<0B．ax＋c>0的解集为C．8a＋4b＋3c<0D．cx2＋bx＋a<0的解集为√√ ABD[关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为或，故a<0，且整理得到b＝－a，c＝－6a.对于A,a<0，正确；对于B，ax＋c>0，即a(x－6)>0，解得x<6，正确；对于C，8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a>0，错误；对于D，cx2＋bx＋a<0，即－6ax2－ax＋a<0，即6x2＋x－1<0，解得－<x<，正确．故选ABD.] 考点二　含参数的一元二次不等式的解法[典例2]解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．[解]原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以(x－1)<0.所以当a>1时，解得<x<1；当a＝1时，解集为∅；当0<a<1时，解得1<x<.综上，当0<a<1时，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为. [拓展变式]在本例中，把“a>0”改成“a∈R”，解不等式．[解]当a>0时，同典例2解析；当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1；当a<0时，<1，原不等式可化为(x－1)>0，解得x>1或x<.综上，当0<a<1时，不等式的解集为，当a＝1时，不等式的解集为∅，当a>1时，不等式的解集为，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，当a<0时，不等式的解集为. 名师点评解含参数的一元二次不等式的步骤 [跟进训练]2．解关于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．[解]Δ＝a2－4.①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为∅.②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，则原不等式的解集为.综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为∅；当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为. 考点三　一元二次不等式恒成立问题[典例3](1)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，－2)C．(－2，2)D．(－2，2](2)若不等式ax2－x＋a>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为___________．(3)若∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，则实数x的取值范围为_________________．√[－1，0] (1)D(2)(3)[－1，0][(1)当a＝2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0可化为－4<0，恒成立；当a≠2时，要使关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，只需解得－2<a<2.故－2<a≤2.故选D.(2)法一(函数法)：当a＝0时，原不等式可化为x<0，易知不合题意；当a≠0时，令f(x)＝ax2－x＋a，要满足题意，需或解得a，所以实数a的取值范围是.法二(分离变量法)：ax2－x＋a>0⇔ax2＋a>x⇔a>.因为x∈(1，＋∞)，＝<，所以a≥. (3)(变更主元法)把不等式的左端看成关于a的函数，令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则由g(a)≥0对于任意的a∈[－1，3]恒成立，得即解得所以实数x的取值范围为[－1，0].] [拓展变式]本例(2)变为：若x∈[m，m＋1]时，满足x2＋mx－1<0，求实数m的取值范围．[解]设f(x)＝x2＋mx－1，则即化简得解得所以－<m<0.则实数m的取值范围为. 名师点评恒成立问题求参数的取值范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．(3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式． [跟进训练]3．(1)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则()A．a≤2B．a≥2C．aD．a(2)若不等式sin2x－asinx＋2≥0对任意的x∈恒成立，则实数a的取值范围是__________．√(－∞，3] (1)C(2)(－∞，3][(1)由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，得a在1≤x≤2上有解，则a，由于＝x＋，而y＝x＋在[1，2]上单调递增，故当x＝2时，x＋取得最大值，故a.故选C.(2)设t＝sinx，∵x∈，∴t∈(0，1]，则不等式sin2x－asinx＋2≥0对任意的x∈恒成立，即不等式t2－at＋2≥0对任意的t∈(0，1]恒成立，即a＝t＋对任意的t∈(0，1]恒成立．由对勾函数知y＝t＋在t∈(0，1]上单调递减，则ymin＝1＋＝3，∴a≤3．] 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(五)一元二次方程、不等式 THANKS