2025年高考数学一轮讲义第8章 第6课时　直线与椭圆

第6课时　直线与椭圆[考试要求]　1．理解直线与椭圆的位置关系，掌握其判断方法.2．会借助方程的思想解决直线与椭圆相交的综合问题．1．直线与椭圆的位置判断将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ__0；直线与椭圆相切⇔Δ__0；直线与椭圆相离⇔Δ__0.2．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1+k2|x1－x2|＝1+k2x1+x22-4x1x2或|AB|＝1+1k2|y1－y2|＝1+1k2y1+y22-4y1y2，k为直线斜率且k≠0.[常用结论]1．点P(x0，y0)和椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x02a2+y02b2＜1．(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x02a2+y02b2＝1．(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x02a2+y02b2＞1．2．椭圆上一点处的切线方程点P(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)上，过点P的切线方程为x0xa2+y0yb2＝1．3．关于－b2a2的重要结论(1)过原点的直线交椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－b2a2．(2)若M(x0，y0)是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－b2a2，即kAB＝－b2x0a2y0．7/7 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　　)(2)过点A(0，1)的直线一定与椭圆x2＋y22＝1相交．(　　)(3)直线和椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断．(　　)(4)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线y＝x＋1与椭圆x25+y24＝1的位置关系是(　　)A．相交　B．相切C．相离　D．无法判断2．(人教A版选择性必修第一册P114练习T2改编)已知斜率为1的直线l过椭圆x24＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为(　　)A．45　B．65C．85　D．1353．(多选)(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)若直线y＝kx＋2与椭圆x23+y22＝1相切，则斜率k的值是(　　)A．63　B．－63C．－33　D．334．(人教A版选择性必修第一册P116T13改编)若点P是椭圆E：x24＋y2＝1上的动点，则点P到直线l：x－y－35＝0的距离的最小值是________，此时，点P的坐标为________．考点一　直线与椭圆的位置关系[典例1]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24+y22＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：7/7 (1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．[跟进训练]1．(多选)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：x26+y22＝1，则下列结论正确的是(　　)A．若C与l至少有一个公共点，则m≤22B．若C与l有且仅有两个公共点，则m<22C．若m＝32，则C上到l的距离为5的点只有1个D．若m＝－2，则C上到l的距离为1的点只有3个2．已知椭圆x225+y29＝1，直线l：4x－5y＋40＝0，则椭圆上的点到直线l的距离的最小值是________．考点二　弦长及中点弦问题　弦长问题[典例2]　已知椭圆C：x24+y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点，且CDAB＝837，求出直线l的方程．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　中点弦问题7/7 [典例3]　(1)已知直线x－3y＋1＝0与椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)交于A，B两点，且线段AB的中点为M，若直线OM(O为坐标原点)的倾斜角为150°，则椭圆C的离心率为(　　)A．13　　　B．23　　　C．33　　　D．63(2)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解答弦长问题及中点弦问题的注意点(1)求弦长的前提是直线和椭圆相交，可利用弦长公式计算弦长；对于中点弦问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与椭圆是否相交．(2)点差法适用范围：涉及弦中点轨迹问题或弦所在直线斜率问题时，可考虑点差法．[跟进训练]3．已知椭圆C：x22＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2.(1)求过点P12，12且被P点平分的弦的直线方程；(2)若过F2作直线与椭圆C相交于A，B两点，且BF2＝2F2A，求|AB|.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　直线与椭圆的综合问题[典例4]　已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且PQ＝32QB.7/7 (1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求、整体代入的方法，如弦长公式中|x1－x2|＝x1+x22-4x1x2＝Δa，其中x1，x2是ax2＋bx＋c＝0两根．2．涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．[跟进训练]4．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点E3，32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若AF1＝2F1B，求直线l的斜率k的值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对于某些圆锥曲线大题，在联立直线与圆锥曲线的方程时，常常会涉及一元二次方程，它的两个根x1，x2满足根与系数的关系．一般来说，在应用题设条件解决问题时，常常能凑出x1＋x2和x1x2，但有些时候无法直接凑出这两个式子，进而无法直接代入根与系数的关系，这就是所谓的“非对称”的根与系数的关系问题．7/7 下面通过对一道圆锥曲线“非对称”结构问题的多角度切入求解，给出其适当的拓展与变式，以探究圆锥曲线非对称结构问题的一般性解决方法．[典例]　已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P-1，32为E上一点，且PF1与x轴垂直．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点F2的直线l与E交于A，B两点，已知点M(0，1)，且△MAF2的面积为△MBF2面积的2倍，求直线l的方程．[赏析]　(1)因为P-1，32为E上一点，且PF1与x轴垂直，所以1a2+94b2=1，c=1，a2=b2+c2，解得a2=4，b2=3，c2=1，所以椭圆E的方程为x24+y23＝1.(2)易得直线l与x轴不重合，设直线l的方程为x＝ty＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立x=ty+1，3x2+4y2=12，得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，故y1＋y2＝－6t3t2+4，y1y2＝－93t2+4.由△MAF2的面积是△MBF2面积的2倍，可得AF2＝2F2B，所以y1＝－2y2，即y1＋2y2＝0.　代数式y1＝－2y2为非对称结构，需要通过适当的处理使之变为对称结构，下面就以此为例，给出此类y1＝λy2(或x1＝λx2)问题的几种处理方法，并对其进行拓展．拓展1　倒数求和法此拓展是对形如y1＝λy2(或x1＝λx2)的关系式，利用x1x2+x2x1＝x1+x22-2x1x2x1x2将问题转化为对称结构．解法1　接典例解答，由y1＝－2y2，得y1y2＝－2，故y1y2+y2y1＝y1+y22-2y1y2y1y2＝－52.结合根与系数的关系，化简可得5t2＝4，即t2＝45.故直线l的方程为y＝±52(x－1)．拓展2　配凑法由y1＋λy2＝0配凑，得λ(y1＋y2)＝(λ－1)y1，y1＋y2＝(1－λ)y2，两式相乘，可得λ(y17/7 ＋y2)2＝－(λ－1)2y1y2，从而将问题转化为对称结构．解法2　接典例解答，由y1＝－2y2，得y1＋2y2＝0，于是2y1+y2=y1，y1+y2=-y2，两式相乘可得2(y1＋y2)2＝－y1y2，结合根与系数的关系，化简可得5t2＝4，即t2＝45.故直线l的方程为y＝±52(x－1)．拓展3　方程组法该拓展的实质是借助方程思想，由非对称式结合根与系数的关系，列方程组解答．解法3　接典例解答，联立y1＋2y2＝0与y1＋y2＝－6t3t2+4，解得y1＝－12t3t2+4，y2＝6t3t2+4.再结合y1y2＝－93t2+4，得72t23t2+42＝93t2+4，解得t2＝45.故直线l的方程为y＝±52(x－1)．[跟进训练]已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的上顶点到右顶点的距离为7，离心率为12，过椭圆的左焦点F作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线m的方程为x＝－2a，过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)①求证：线段EN必过定点P，并求定点P的坐标；②点O为坐标原点，求△OEN面积的最大值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7/7