2025年高考数学一轮讲义第6章 第1课时　数列的概念与简单表示法

第1课时　数列的概念与简单表示法[考试要求]　1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、函数解析式法).2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.1．数列的定义一般地，把按照__________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．提醒：数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或{1，2，…，n}．2．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数____无穷数列项数____项与项间的大小关系递增数列an＋1__an递减数列an＋1__an其中n∈N*常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3．数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是______、______和____________．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项____与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．6/6 6．数列的前n项和(1)表示：在数列{an}中，Sn＝____________________叫做数列{an}的前n项和．(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝________，n=1，________，n≥2．提醒：若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．[常用结论]在数列{an}中，若an最大，则an≥an-1，an≥an+1；若an最小，则an≤an-1，an≤an+1.一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1，2，3与数列3，2，1是相同数列．(　　)(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．(　　)(3)任何一个数列都有唯一的通项公式．(　　)(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P5例2改编)数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为(　　)A．an＝±1n　B．an＝(－1)n·1nC．an＝(－1)n+1·1n　D．an＝1n2．(人教A版选择性必修第二册P8练习T3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋1an，则a5＝(　　)A．2　　　　B．32　　　C．53　　　　D．853．(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．4．(人教A版选择性必修第二册P8练习T1改编)下列从左到右排列的图形中，小正方形个数构成的数列的一个通项公式为an＝________．6/6 考点一　由an与Sn的关系求通项公式[典例1]　(1)(2024·山东菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＝4an－3，则Sn＝(　　)A．425n-1　　　B．423n-1C．343n-1　D．4(3n－1)(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知Sn求an的三个步骤(1)利用a1＝S1求出a1.(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1求出an的表达式．(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2．2．Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．提醒：注意an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，转化后往往能构造等差或等比数列或用累加、累乘等方法求解．[跟进训练]1．(1)(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是(　　)6/6 A．an＝1nn-1　B．an＝-1，n=1，1nn-1，n≥2C．Sn＝－1n　D．数列1Sn是等差数列(2)若数列{an}是正项数列，且a1+a2＋…＋an＝n2＋n，则a1＋a22＋…＋ann＝________．考点二　由数列的递推关系求通项公式[典例2]　(1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝n-1nan－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．(3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．(4)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2anan+2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由递推关系求数列的通项公式的常用方法[跟进训练]2．(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1nn+1，则数列{an}的通项公式为an＝________．(2)已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式为an＝________．6/6 (3)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1，则数列{an}的通项公式为an＝________．考点三　数列的函数特性　数列的周期性[典例3]　在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝3+an1-3an，Sn是数列{an}的前n项和，则S2024＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数列的单调性[典例4]　已知数列{an}的通项公式为an＝3n+k2n，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　)A．(3，＋∞)　B．(2，＋∞)C．(1，＋∞)　D．(0，＋∞)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数列的最值[典例5]　已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·1011n，则数列{an}的最大项为(　　)A．a8或a9　B．a9或a10C．a10或a11　D．a11或a12[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求解．6/6 2．判断数列单调性的两种方法(1)作差(商)法．(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．3．求数列中最大(小)项的两种方法(1)根据数列的单调性求解．(2)利用不等式组an≥an-1，an≥an+1或an≤an-1，an≤an+1求出n的值，进而求得an的最值．[跟进训练]3．(1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1+an1-an，则a2024的值为(　　)A．2　　　B．－3　　　C．－12　　　D．13(2)(2024·湖北武汉模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，若an＝2n3n-49，则使得Sn取得最小值的n的值为________．6/6