2023年新高考一轮复习讲义第34讲 数列的概念及简单表示法（解析版）

第34讲　数列的概念及简单表示法学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由数列是单调递增数列，可得，从而有恒成立，由，可求得的取值范围.【详解】解：由题意得：由数列是单调递增数列，所以，即，即（）恒成立，又因为数列是单调递减数列所以当时，取得最大值，所以.故选：C.2．（2022·北京·北大附中三模）已知数列满足，其中，则数列（       ）A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】A【分析】求得数列的通项公式，再分析数列的单调性即可【详解】依题意，因为，其中，当时，，当时，，，两式相除有，易得随试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 着的增大而减小，故，且，故最小项为，最大项为故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，当时，，则（       ）A．B．C．5D．【答案】B【分析】直接由递推关系式得出数列的周期，再利用周期性即可求解.【详解】由题意得：，则数列的周期为3，则.故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为（       ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据，利用数列的通项和前n项和的关系，得到，再利用累乘法求解.【详解】解：由①②，①②得：，即：，所以，所以故选：．5．（2022·海南中学高三阶段练习）已知数列满足，则试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 （       ）A．50B．75C．100D．150【答案】A【分析】由已知得，，两式相减得，由此代入可求得答案.【详解】解：∵，∴，.两式相减得.则，，…，，∴，故选：A.6．（2022·全国·高三专题练习）已知为数列的前项和，，，则（       ）A．2020B．2021C．2022D．2024【答案】C【分析】利用化简可得出，则可求出答案.【详解】当时，，当时，由得，两式相减可得，即，所以，可得，所以.故选：C.7．（2022·全国·高三专题练习）数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（     ）A．数列是常数列B．若，则是递增数列C．若，则D．若，则的最小项的值为试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【答案】D【分析】由题设可得且()，进而可知时偶数项、奇数项的值分别相等，再结合各项的描述判断正误.【详解】当时，，当时，，则，而不一定成立，故不一定是常数列，A错误；由，显然且，即不单调，B错误；若，则，，故，偶数项为3，奇数项为，而，C错误；若，则，，故，偶数项为，奇数项为2，故的最小项的值为，D正确.故选：D8．（2022·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（       ）A．200B．210C．220D．242【答案】C【分析】由数列奇数项的前几项可归纳出奇数项上的通项公式，从而得到答案.【详解】根据题意，数列的前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇数项为0、4、12、24、40，有故其奇数项上的通项公式为故，故选：C9．（多选）（2022·广东惠州·高三阶段练习）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（       ）试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 A．B．数列是等比数列C．D．【答案】AB【分析】根据题意可得，从而可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项，再根据分组求和法即可求出，即可得出答案.【详解】解：∵，可得，又∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确；则，∴，故C错误；则，故A正确；∴，故D错误.故选：AB.10．（多选）（2022·江苏南京·高三开学考试）已知数列满足，则（       ）A．≥2B．是递增数列C．{-4}是递增数列D．【答案】ABD【分析】根据所给的递推公式，结合选项构造对应的表达式推导即可【详解】对于A，因为，故，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，由A可得为正数数列，且，则，故为递增数列，且，根据对勾函数的单调性，为递增数列，故B正确；对于C，由，由题意，，即可知不是递增数列；对于D，因为，所以，所以，试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，即.故选：ABD11．（多选）（2022·广东·模拟预测）已知数列满足，为其前n项和，则（       ）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】根据条件依次可得，，，，，…，，然后可得，，，然后可逐一判断.【详解】因为，，，，，…，，所以，，，累加得，∴，，因为，，所以，故选：ABC．12．（多选）（2022·江苏泰州·模拟预测）已知数列满足，，前n项和为，则（       ）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】根据首项判断A，由递推关系式可推出数列为递减数列，据此放缩后可判断D，再由放缩可得，据此可判断BC.【详解】由知，A错；试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ∵，，∴，，∴，时，；时，，D对；，∴，∴，∴，∴，∴；，∴，∴，∴，∴时，，，B对．，C对．故选：BCD13．（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）在数列中，，，则的值为__________.【答案】【分析】根据条件求出数列的周期即可求解.【详解】因为，，所以，，，，所以数列是周期为的周期数列，所以.故答案为：.14．（2022·湖北·高三开学考试）记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为________.【答案】16【分析】根据数列的单调性，即可判断的最小时的值.【详解】由得,当时，单调递减，且，当时，，故当时，，当时，，且，试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以当时，最小.故答案为：1615．（2022·福建·莆田八中高三开学考试）已知数列满足：①先单调递减后单调递增：②当时取得最小值．写出一个满足条件的数列的通项公式_________．【答案】【分析】利用数列单调性的定义进行判断，从而得到数列的最值.【详解】设，则，，当，数列单调递减，当，数列单调递增，即，可得当时数列取得最小值，故答案为：16．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知为数列的前n项和，，则___________，若的前n项和为，则___________．【答案】        【分析】根据（）即可得到，再对分奇偶两种情况讨论，即可得到，从而得解；【详解】解：当时，，由得，当为偶数时，，则，即当为奇数时，；当为奇数时，，则，即当为偶数时，．所以，，所以．故答案为：；17．（2022·广东广州·高三开学考试）已知集合，，将A与B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列（若有相同元素，按重复方式计入排列）为1，3，3，试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 5，7，9，9，11，….,设数列的前n项和为.(1)若，求m的值；(2)求的值.【解】（1）因为，所以数列中前项中含有A中的元素为1，3，5，7，9，…，27，共有14项，数列中前项中含有B中的元素为3，9，27，共有3项，排列后为1，3,3,，5，7，9，9，…，27，27，29，…，所以或17.（2）因为，，，所以数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项，它们都是正奇数，均属于A，所以数列中前50项中含有A中的元素为1，3，5，7，9，…，27，29，…，79，81，83，…，，共有46项，所以.18．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知数列满足，（其中）(1)判断并证明数列的单调性；(2)记数列的前n项和为，证明：．【解】（1）单调递减，理由如下：．∵，∴，∴数列单调递减；（2）∵，，，∴，又，则.∵，，∴，则，当，累加可得，则，则试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，则，∴，则．【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．【详解】∵，易得，依次类推可得由题意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；综上：．故选：B．             2．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}满足，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】先由判断出是递增数列且，再由结合累加法求得；再由结合累加法求得，即可求解.【详解】由，得，，所以，又，所以数列是递增数列且，，所以，所以，所以，.当，得，由得，试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 则，同上由累加法得，所以，所以，则.故选：C.3．（多选）（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）若数列满足：对，若，则，称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列是“鲤鱼跃龙门数列”的有（       ）A．B．C．D．【答案】BD【分析】举特例，可说明A不符合题意，同理可说明C不符合题意；依据“鲤鱼跃龙门数列”的定义，可说明B,D.【详解】对于A,不妨取，但，不满足，故A错误；对于B,,对，若,则，则,即，故B正确；对于C，不妨取，但，不满足，故C错误；对于D,,对，若,则，则，故，即，故D正确；故选：BD4．（2022·上海长宁·二模）已知数列满足：对任意，都有，．设数列的前项和为，若，则的最大值为__________．【答案】【分析】先说明中不可能存在相邻两项为非负数，可得当时，则，，当时，则，，由此可求得答案.试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【详解】假设中存在相邻两项为非负数，则，若，则，与条件矛盾；若，则，与条件矛盾，故中不可能存在相邻两项为非负数，当时，则，则根据得,故，当时，则，则根据得,故，所以总成立，又当n为奇数时，，所以的奇偶性不同，则，当n为偶数时，，故当k为奇数时,,此时考查数列：符合题意，此时的最大值为0；故当k为偶数时,,此时考查数列：符合题意，此时的最大值为，故的最大值为，故答案为：试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司