2025年高考数学一轮讲义第8章 第4课时　直线与圆、圆与圆的位置关系

第4课时　直线与圆、圆与圆的位置关系[考试要求]　1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝Aa+Bb+CA2+B2d__rd__rd__r代数法：由Ax+By+C＝0，x-a2+y-b2＝r2消元得到一元二次方程根的判别式ΔΔ__0Δ__0Δ__02．圆与圆的位置关系若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：外离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2______________________________d＝|r1－r2|__________________[常用结论]1．圆的切线方程的常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y08/8 －b)(y－b)＝r2．(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．(4)过圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交．(　　)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P93练习T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)A．相切　　　　　　　B．相交但直线不过圆心8/8 C．直线过圆心　D．相离2．(人教A版选择性必修第一册P96例5改编)圆x2＋y2－2y＝0与圆x2＋y2－4＝0的位置关系是(　　)A．相交　　B．内切　　C．外切　　D．内含3．(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T9改编)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax＋4ay－9＝0相交，且公共弦长为22，则a＝________．4．(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为______________．考点一　直线与圆的位置关系[典例1]　(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)A．相交　B．相切C．相离　D．不确定(2)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　)A．1　B．2C．3　D．4[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．判断直线与圆的位置关系的常用方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．2．圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d.8/8 如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t.如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t.由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t.若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t.[跟进训练]1．(1)(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切(2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　圆与圆的位置关系[典例2]　(1)(2024·山东淄博模拟)“a≥22”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(多选)(2023·辽宁抚顺二模)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝8/8 16，下列说法正确的是(　　)A．C1与C2的公切线恰有4条B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0C．C1与C2相交弦的弦长为125D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12(3)(2024·福建宁德模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．2．两圆公共弦长的求法先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，弦长的一半l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解，且l＝2r2-d2.[跟进训练]2．(1)圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是(　　)A．-∞，-5B．5，+∞C．-5，5D．-∞，-5∪5，+∞(2)已知点A(0，2)，O(0，0)，若圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上存在点M，使MA·MO＝3，则圆心C的横坐标a的取值范围为________．(3)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．考点三　圆的切线、弦长问题8/8 　切线问题[典例3]　已知点P2+1，2-2，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4．求：(1)过点P的圆C的切线方程；(2)过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　弦长问题[典例4]　(1)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为(　　)A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0(2)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则CD＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求圆的切线、弦长时需注意的问题(1)过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线，特别注意斜率不存在的情况．(2)对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条；两种情况常因漏掉直线斜率不存在的情形致误．[跟进训练]3．(1)由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)A．1　B．228/8 C．7　D．3(2)(2021·北京高考)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为(　　)A．±2　B．±2C．±3　D．±3[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点四　与圆有关的综合问题[典例5]　已知圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2.(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；(2)若k＝12，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　立足直线与圆的位置关系，将几何问题代数化是求解本类题目的关键．同时，在坐标运算中，借助圆的几何性质，可以大大提高运算速度．[跟进训练]4．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8/8 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8/8