2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系

§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系第八章直线和圆、圆锥曲线 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 相离相切相交图形量化方程观点Δ___0Δ____0Δ____0几何观点d____rd____rd____r1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)<＝>>＝< 图形量的关系外离_________外切__________2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)d>r1＋r2d＝r1＋r2 相交_______________内切____________内含_________|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2| 3.直线被圆截得的弦长(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝__________.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝________________________. 1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到. (2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解). 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.()(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.()(4)在圆中最长的弦是直径.()√××√ 1.直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.相切或相交√ 2.直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为√∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5， 3.若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为A.±3B.±5C.3或5D.±3或±5√ 探究核心题型第二部分 命题点1位置关系的判断例1(1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切题型一直线与圆的位置关系√√√ 若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2， 若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2， (2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为A.相交、相切或相离B.相交或相切C.相交D.相切√ 方法一直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2).因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交. 判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系判断.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.思维升华 命题点2弦长问题例2(1)(2022·北京模拟)已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k的值为√ 圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r＝2， (2)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝时，直线l的方程为_____________________.x＝0或3x＋4y－4＝0 因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时圆心(－1,3)到直线x＝0的距离为1，满足条件；当直线l斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋1， 此时直线l的方程为3x＋4y－4＝0，综上，所求直线的方程为3x＋4y－4＝0或x＝0. 弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.思维升华 命题点3切线问题(1)求过点P的圆C的切线方程； 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.∴点P在圆C上. (2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长. ∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外.当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0， 即3x－4y－5＝0.综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0. 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.注意验证斜率不存在的情况.思维升华 命题点4直线与圆位置关系中的最值(范围)问题例4(2023·龙岩模拟)已知点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为______. ∵点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，∴P(x0，4－x0)， 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.思维升华 A.相切B.相交C.相离D.相交或相切√ 所以直线与圆相交或相切. √ 例5(1)(2023·扬州联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋)2＝16和两点A(0，－m)，B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为A.5B.6C.7D.8题型二圆与圆的位置关系√ 因为两点A(0，－m)，B(0，m)，点P满足AP⊥BP，故点P的轨迹C1是以A，B为直径的圆(不包含A，B)，故其轨迹方程为x2＋y2＝m2(x≠0)，则|4－|m||≤3≤4＋|m|，解得|m|∈[1,7]，则m的最大值为7. (2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为_____________，公共弦长为______.x－2y＋4＝0 两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程.由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50， 设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2， (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.思维升华 跟踪训练2(1)(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为A.内含B.相交C.外切D.外离√圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2.圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2，故两圆是相交关系. (2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程__________________________________________________________________________________.x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可) 如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3,4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称. 则点O(0,0)到l2的距离为1， 即7x－24y－25＝0.易知t>0，则点O(0,0)到l3的距离为1， 即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. 课时精练第三部分 1.圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4与直线3x＋4y＋5＝0的位置关系为A.相离B.相切C.相交D.不确定1234567891011121314√基础保分练由题意知，圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1,2)，半径r＝2，所以直线3x＋4y＋5＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的位置关系是相切. 2.(2023·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是A.外离B.相交C.外切D.内切√1234567891011121314 由题意知，圆O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标O1(1,0)，半径r1＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为O2(0,2)，半径r2＝2，1234567891011121314所以圆O1与圆O2相交. 3.(2022·沈阳模拟)已知圆C的圆心在直线l1：x＋2y－7＝0上，且与直线l2：x＋2y－2＝0相切于点M(－2,2)，则圆C被直线l3：2x＋y－6＝0截得的弦长为1234567891011121314√ 设圆心坐标为(a，b)，1234567891011121314 12345678910111213144.(多选)(2023·滁州模拟)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圆C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圆C1与圆C2内切，则实数a的值是A.－2B.2C.－1D.1√√ 12345678910111213145.(2022·深圳模拟)若圆C：x2＋y2－6x－6y－m＝0上有到(－1,0)的距离为1的点，则实数m的取值范围为A.(－18,6]B.[－2,6]C.[－2,18]D.[4,18]√ 1234567891011121314将圆C的方程化为标准方程得(x－3)2＋(y－3)2＝m＋18，所以m>－18.因为圆C上有到(－1,0)的距离为1的点，解得－2≤m≤18. 6.(多选)在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的可能取值是A.1B.2C.3D.41234567891011121314√√ 1234567891011121314 7.(2022·阳泉模拟)若直线(m＋1)x＋my－2m－1＝0与圆x2＋y2＝3交于M，N两点，则弦长|MN|的最小值为_____.21234567891011121314 直线MN的方程可化为m(x＋y－2)＋x－1＝0，所以直线MN过定点A(1,1)，因为12＋12<3，即点A在圆x2＋y2＝3内，当OA⊥MN时，圆心O到直线MN的距离取得最大值，1234567891011121314 8.(2022·鸡西模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则△PAB外接圆的方程是_________________.1234567891011121314(x－2)2＋(y－1)2＝5 9.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？1234567891011121314 1234567891011121314两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，则圆心分别为(1,3)，(5,6)，当两圆外切时， (2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.1234567891011121314两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0. 10.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.(1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相交；1234567891011121314 1234567891011121314转化l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0，可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0，所以直线l恒过点(2,3)，由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4，得点(2,3)在圆内，即直线l恒过圆内一点，所以无论m为何值，直线l都与圆C相交. (2)若过点P(1,0)的直线m与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线m的方程.1234567891011121314 由C的圆心为(3,4)，半径r＝2，易知此时直线m的斜率存在且不为0，故设直线m的方程为x＝my＋1(m≠0)，直线m的一般方程为my－x＋1＝0，1234567891011121314 1234567891011121314所以△ABC面积的最大值为2，此时直线m的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0. 11.若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为1234567891011121314综合提升练√ 1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314 13.(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于21234567891011121314√拓展冲刺练√√ 1234567891011121314 1234567891011121314 14.(2023·衡水中学模拟)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值为A.1B.2C.3D.4√1234567891011121314 圆C1：x2＋y2＝9的圆心为原点O(0,0)，半径r1＝3，依题意，得圆C2的圆心C2在圆C1内，设半径为r2，如图，因为圆C2与圆C1内切，则|OC2|＝r1－r2，即r2＝r1－|OC2|，而点C2在线段AB上，显然|OC2|≥|OP|，当且仅当点C2与点P重合时取“＝”，所以(r2)max＝r1－|OP|＝3－1＝2，即圆C2的半径的最大值是2.1234567891011121314