2025年高考数学一轮讲义 第6章 第4课时　数列求和

第4课时　数列求和[考试要求]　1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2．掌握数列求和的常用方法．1．公式法(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝na1+an2＝__________．(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝na1，q=1，a11-qn1-q=___________，q≠1．2．几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．常见的拆项类型①分式型：1nn+k＝1k1n-1n+k，12n-12n+1＝1212n-1-12n+1，1nn+1n+2＝121nn+1-1n+1n+2等；②指数型：2n2n+1-12n-1＝12n-1-12n+1-1，n+2nn+1·2n＝1n·2n-1-1n+1·2n等；③根式型：1n+n+k＝1k(n+k-n)等；④对数型：logman+1an＝logman＋1－logman，m>0且m≠1.(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列满足与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解．(5)并项求和法：一个数列的前n5/5 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)的数列求和，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.提醒：无论用哪一种方法求和，最后可以用S1，S2进行验证．[常用结论](1)＝1＋2＋3＋…＋n＝nn+12；(2)＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；(3)＝13＋23＋…＋n3＝12nn+12；(4)＝12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1).一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知各项均不为零的等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则有1anan+1＝1d1an-1an+1．(　　)(2)当n≥2时，1n2-1＝121n-1-1n+1．(　　)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求解．(　　)(4)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P51练习T2改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn+1，则S5等于(　　)A．1　B．56C．16　D．1302．(人教A版选择性必修第二册P51练习T1改编)数列{an}的通项公式为an＝(－5/5 1)n(2n－1)，则该数列的前100项和为(　　)A．－200　B．－100C．200　D．1003．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(1)改编)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)A．2n＋n2－1　B．2n+1＋n2－1C．2n+1＋n2－2　D．2n＋n－24．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(2)改编)1＋2a＋3a2＋…＋nan-1＝________．考点一　分组求和与并项求和　分组求和[典例1]　在数列{an}中，a1＝－1，an＝2an－1＋3n－6(n≥2，n∈N*)．(1)求证：数列{an＋3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Tn.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　并项求和[典例2]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝9，S5＝25.(1)求数列{an}的通项公式及Sn；(2)设bn＝(－1)nSn，求数列{bn}的前n项和Tn.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　分组求和与并项求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．5/5 (2)通项公式为an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．(3)如果cn＝(－1)n·an，求{cn}的前n项和时，可采用并项求和法求解．对n分奇数、偶数讨论，建议先求n是偶数时Sn，当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋cn.[跟进训练]1．(2024·四川乐山模拟)已知等差数列{an}的前三项和为15，等比数列{bn}的前三项积为64，且a1＝b1＝2.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝an，n为奇数，bn，n为偶数，求数列{cn}的前20项和．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　裂项相消法求和[典例3]　(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Snan是公差为13的等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)证明：1a1+1a2＋…＋1an<2.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　裂项相消法求和的基本步骤[跟进训练]2．(2024·湖南衡阳模拟)在数列{an}中，a12+a23+a34＋…＋ann+1＝n2＋n.5/5 (1)求{an}的通项公式；(2)证明：13a1+14a2＋…＋1n+2an<18.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　错位相减法求和[典例4]　(2023·全国甲卷)已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为数列{an}的前n项和，2Sn＝nan.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列an+12n的前n项和Tn.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　错位相减法求和的具体步骤[跟进训练]3．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝nan3.已知a1，3a2，9a3成等差数列．(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜Sn2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5