2023年新高考一轮复习讲义第37讲 数列求和（解析版）

第37讲　数列求和学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·重庆八中高三阶段练习）数列的前n项和为，且，则（       ）A．2020B．2021C．2022D．2023【答案】D【分析】根据数列的通项公式，可求得,依此类推，即可求解.【详解】∵，故故.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，则（       ）A．25<S100<25.5B．25.5<S100<26C．26<S100<27D．27<S100<27.5【答案】A【分析】利用裂项相消法，来求前项和公式，再求前100项的和即可．【详解】由，∴，∴，故选：A．3．（2022·全国·高三专题练习）（       ）A．B．C．D．试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【答案】B【分析】观察数列属于等差乘等比模型，按照错位相减法求和即可.【详解】由，得，两式相减得.所以.故选：B.4．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据，利用倒序相加法求解.【详解】解：因为，且，令,又，两式相加得：，解得，故选：B试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 5．（2022·广东广州·三模）已知数列满足，，则数列的前2022项和为（       ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由已知可得出为等差数列，即可求出，进而得出，利用裂项相消法可求出.【详解】当时，；当时.所以，所以.因为，所以，所以是一个首项为3，公差为1的等差数列，所以，故.所以，所以.故选：A6．（2022·江苏南通·高三期末）函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（       ）A．4097B．4107C．5119D．5129【答案】B【分析】根据新函数的定义，确定的值，然后用分组求和法、错位相减法求和．【详解】由题意时，，，在上奇数共有个，，，，设，则，相减得：，所以，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以．故选：B．7．（2022·全国·高三专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（       ）A．B．0C．59D．【答案】A【分析】由题得   ①，   ②，两式相加化简即得解.【详解】令   ①则   ②①+②可得：，，..故选：A8．（2022·北京·北师大二附中高三开学考试）已知数列满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是（       ）A．的值为2B．数列的通项公式为C．数列为递减数列D．【答案】B【分析】利用与的关系可求数列的通项公式，利用可判断单调性，利用错位相减法求.试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【详解】当时，，∴，故A正确；当时，，∴，∴，∵上式对也成立，∴（），故B错误；∵，∴数列为递减数列，故C正确；∵，∴，两式相减得，，∴，故D正确．故选：B．9．（多选）（2022·重庆·一模）已知数列满足：，则下列说法中正确的是（       ）A．B．C．数列的前10项和为定值D．数列的前20项和为定值【答案】AD【分析】由，两式可判断A,B选项；由题意可得，，从而可判断选项C,D.【详解】取得，故；选项A正确取得，又，两式相减得；选项B不正确.由题知，①，②，③，②-①得，②+③得，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ∴为定值，题中条件只限制，所以的值不确定，故前10项和无法确定；所以选项C不正确.前20项中奇数项有10项，相邻两项的和确定，故这10项的和确定，同理10个偶数项的和确定，故前20项和为定值.所以选项D正确.故选：AD10．（多选）（2022·广东·一模）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（       ）A．B．为等比数列C．D．【答案】AD【分析】利用递推式可求得的值，可判断A,B;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断D;【详解】，则，又，同理，故A正确；而，故不是等比数列，B错误；，故C错误；，故D正确，故选：AD11．（2022·湖北·模拟预测）已知数列满足为数列的前项和，则试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 （       ）A．是等比数列B．是等比数列C．D．中存在不相等的三项构成等差数列【答案】BC【分析】根据给定条件，求出数列的通项表达式，再逐项分析计算、判断作答.【详解】数列中，，，则，，因此，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，B正确；因，，则数列不是等比数列，A不正确；，C正确；假定中存在不相等的三项构成等差数列，令此三项依次为，且，，则有，而，即，又，因此，不成立，所以中不存在不相等的三项构成等差数列，D不正确.故选：BC12．（多选）（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（       ）A．B．数列是公比为28的等比数列C．若，则数列的前2020项和为4040D．若，则数列的前2020项和为【答案】BCD试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【分析】应用等差数列的前n项和、通项公式求基本量可得，进而判断A，再由及等比数列的定义判断B，应用分组求和、裂项求和判断C、D.【详解】由题设，，则，若等差数列的公差为，故，而，所以，则，，A错误；，易知是公比为28的等比数列，B正确；，则前2020项和为，C正确；，则前n项和为，所以前2020项和为，D正确.故选：BCD13．（2022·辽宁实验中学模拟预测）数列的通项公式为，该数列的前8项和为__________．【答案】【分析】用裂项相消法求和．【详解】因为，所以．故答案为：．14．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，则___________.【答案】【分析】依题意设公差为，即可得到方程组，求出与，即可求出通项公式与前项和公式，再利用试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 裂项相消法求和即可；【详解】设公差为，因为，所以，解得，所以，所以，所以，所以故答案为：15．（2022·湖南益阳·高三阶段练习）已知数列中，，当时，有，则的值为__________.【答案】【分析】令，进而根据题意得数列为等比数列，公比为，首项为，进而得，再根据错位相减法求解即可.【详解】解：因为当时，有，所以，令，则，所以数列为等比数列，公比为，首项为，所以，所以，所以，所以，即故答案为：16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【答案】【分析】根据可求，从而可求.易验证，故可采用倒序相加法求题设式子的值．【详解】∵①，∴当时，②，①－②得，∴；当时，，∴，此时仍然成立，∴．∴当n=1时，；当时，，当n=1时，上式也成立，故．由于，设则，∴．故答案为：．17．（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）已知数列{}满足=2，.(1)求数列{}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.【解】（1）令，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，，所以，所以是公比为2的等比数列，所以，即，符合=2，故.（2），①，②得：所以：18．（2022·湖南·高三开学考试）已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.(1)求数列的通项公式；(2)求证：.【解】（1）由题意得：，三点共线，则，可得，即.数列是首项为1公差为1的等差数列，所以.（2），所以试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 19．（2022·广东·高三开学考试）已知数列满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项的和.【解】（1）当为奇数时，，所以所有奇数项构成以为首项，公差为－1的等差数列，所以，当为偶数时，，所以所有偶数项构成以为首项，公比为3的等比数列，所以，所以；（2.【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（       ）A．249B．499C．749D．999【答案】A【分析】利用已知关系式构造两个新数列，求出，利用放缩技巧，可得到数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列前项和后，带入函数解析式即可得到答案.【详解】由，得，又，所以数列是以3为首项，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 4为公比的等比数列，则①；由得，，又，所以数列是常数列，则②，由①②联立可得；因为，所以即：   所以，故，所以，则．故选：A2．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【分析】计算出，由已知得，即，所以，由累乘法可得再利用裂项相消求和可得答案.【详解】由，，得，所以，，所以，即，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，所以，所以，，故，，所以.故选：A.3．（2021·浙江·模拟预测）已知数列{an}的首项a1＝3，前n项和为Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N*，设bn＝log3an，数列的前n项和Tn的范围（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得，求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得，判断为递增数列，可得所求范围．【详解】解：首项，前项和为，，可得，时，，又，两式相减可得，则，可得，上式对也成立，则，，，，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 则前项和，，相减可得，化简可得，由，可得为递增数列，可得，而，可得，综上可得，故选：C．4．（2022·浙江省嘉善中学高三阶段练习）已知数列满足，，为数列的前n项和，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】先判断出，通过放缩得到，再通过分析法证得，结合裂项相消即可证得，又由证得即可.【详解】当，时，因为，所以，又因为，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 且，下证，即证，即证，即证，即证，即证令，即证，当，时，不等式恒成立.因此，，所以，又因为，故选：D.5．（多选）（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）已知数列中，，且，设，则下列结论正确的是（       ）A．试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 B．数列单调递增C．D．若为偶数，则正整数n的最小值为8【答案】AC【分析】利用求得是公比为3的等比数列，利用求得的值，判断出选项A，求出即可判断B；利用分组求和证得C正确；利用二项式定理证得D错误.【详解】解：∴∴则是公比为3的等比数列.∴或，又，所以，A正确；，可能小于，故B错误；又，故C正确；，不符试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故当时，为奇数，故D错误.故选:AC.6．（2022·江苏苏州·模拟预测）数列满足，，则前40项和为________．【答案】【分析】根据题设中的递推关系可得、，利用分组求和可求前40项和，【详解】当时，，故，当时，，所以，所以，当时，；当时，；当时，；当时，；故试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，故前40项和为，故答案为：7．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知数列满足，（其中）(1)判断并证明数列的单调性；(2)记数列的前n项和为，证明：．【解】（1）单调递减，理由如下：．∵，∴，∴数列单调递减；（2）∵，，，∴，又，则.∵，，∴，则，当，累加可得，则，则，则，∴，则．试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司