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高考总动员2022届高考数学大一轮复习第5章第4节数列求和课时提升练文新人教版
高考总动员2022届高考数学大一轮复习第5章第4节数列求和课时提升练文新人教版
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课时提升练(二十九) 数列求和一、选择题1.数列{1+2n-1}的前n项和为( )A.1+2n B.2+2nC.n+2n-1D.n+2+2n【解析】 设前n项和Sn,则Sn=1+20+1+2+1+22+…+1+2n-1=n+=n+2n-1.【答案】 C2.(2022·福建高考)数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2012等于( )A.1006 B.2012C.503 D.0【解析】 a1=cos=0,a2=2cosπ=-2,a3=0,a4=4,….∴数列{an}的所有奇数项为0,前2012项的所有偶数项(共1006项)依次为-2,4,-6,8,…故S2012=0+(-2+4)+(-6+8)+…+(-2010+2012)=1006.【答案】 A3.数列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}的前12项和等于( )A.76B.78C.80D.82【解析】 由已知an+1+(-1)nan=2n-1得,an+2+(-1)n+1an+1=2n+1,∴an+2+an=(-1)n(2n-1)+(2n+1).取n=1,5,9及n=2,6,10,结果相加可得S12=a1+a2+…+a11+a12=78.【答案】 B4.已知函数f(x)=xa的图像过点(4,2),令an=,n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2014=( )A.-1B.-1C.-1D.+1【解析】 由f(4)=2得4a=2.∴a=,则f(x)=x,∴an==5\n=-,S2014=a1+a2+a3+…+a2014=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-1.【答案】 C5.(2022·南宁模拟)数列{an}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则a+a+a+…+a等于( )A.(3n-1)2B.(9n-1)C.9n-1D.(3n-1)【解析】 ∵a1+a2+…+an=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+an-1=3n-1-1,∴当n≥2时,an=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,∴an=2·3n-1,故数列{a}是首项为4,公比为9的等比数列.因此a+a+…+a==(9n-1).【答案】 B6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,则{|an|}的前n项和Tn=( )A.6n-n2B.n2-6n+18C.D.【解析】 ∵Sn=n2-6n,∴{an}是等差数列,且首项为-5,公差为2,∴an=-5+(n-1)×2=2n-7,∴n≤3时,an<0,n>3时,an>0,∴Tn=【答案】 C二、填空题7.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(2n-1),则a1+a2+a3+…+a100=________.【解析】 由题意知,a1+a2+a3+…+a100=-1+3-5+7+…+(-1)100(2×100-1)=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.【答案】 1008.在等比数列{an}中,公比q=2,前99项的和S99=30,则a3+a6+a9+…+a99=________.【解析】 ∵S99=30,∴a1(299-1)=30,∵数列a3,a6,a9,…,a99也成等比数列且公比为8,∴a3+a6+a9+…+a99===×30=.5\n【答案】 9.若=110(x∈N*),则x=________.【解析】 原式分子为1+3+5+…+(2x-1)==x2,原式分母为++…+=1-+-+…+-=,故原式==x2+x=110,x=10.【答案】 10三、解答题10.(2022·大纲全国卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=10,a2为整数,且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.【解】 (1)由a1=10,a2为整数,知等差数列{an}的公差d为整数.又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0,于是10+3d≥0,10+4d≤0.解得-≤d≤-.因此d=-3.数列{an}的通项公式为an=13-3n.(2)bn==.于是Tn=b1+b2+…+bn=++…+-==.11.(2022·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+kn(其中k∈N*),且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,并求an;(2)求数列的前n项和Tn.【解】 (1)当n=k∈N+时,Sn=-n2+kn取最大值,即8=Sk=-k2+k2=k2,5\n故k2=16,因此k=4,从而an=Sn-Sn-1=-n(n≥2).又a1=S1=,所以an=-n.(2)因为bn==,Tn=b1+b2+…+bn=1+++…++,所以Tn=2Tn-Tn=2+1++…+-=4--=4-.12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2-an(n∈N*).(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列{2nan}的前n项和为Tn,An=+++…+,试比较An与的大小.【解】 (1)证明:由a1=S1=2-3a1得a1=,当n≥2时,由an=Sn-Sn-1得=×,所以是首项和公比均为的等比数列.(2)由(1)得=,于是2n·an=n,Tn=1+2+3+…+n=.所以=2,于是An=2=,而=,所以问题转化为比较与的大小.设f(n)=,g(n)=,当n≥4时,f(n)≥f(4)=1,而g(n)<1,所以f(n)>g(n).5\n经验证当n=1,2,3时,仍有f(n)>g(n).因此对任意的正整数n,都有f(n)>g(n),即An<.5
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:55:40
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