2025年高考数学一轮讲义第8章 第1课时　直线的方程

第1课时　直线的方程[考试要求]　1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．1．直线的方向向量(1)设A，B为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量．(2)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为(1，k)．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，________与直线l____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为__________________．3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝_________(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝__．4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式________________________不含直线x＝x0斜截式____________不含垂直于x轴的直线两点式______(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式____________不含垂直于坐标轴和过原点的直线6/6 一般式_________________________平面直角坐标系内的直线都适用提醒：①“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．②研究直线，首先要考虑直线斜率是否存在．[常用结论]1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系α0≤α<π2π2π2＜α＜πkk≥0不存在k<02．特殊位置的直线方程(1)x轴：y＝0；(2)y轴：x＝0；(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b；(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a；(5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx.3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量n＝(－B，A)．4．直线的方向向量n＝(m，n)(m≠0)，则直线斜率k＝nm.一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α．(　　)(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)(3)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(　　)(4)直线y＝10的一个方向向量是(1，0)．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P55练习T5改编)经过A(0，2)，B(1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值是(　　)A．1　　　B．－1　　　C．2　　　D．－22．(人教A版选择性必修第一册P55练习T1改编)已知直线l的倾斜角为60°，且6/6 l在y轴上的截距为－1，则直线l的方程为(　　)A．y＝－33x－1　B．y＝－33x＋1C．y＝3x－1　D．y＝3x＋13．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T2改编)已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.4．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T7改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________.考点一　直线的倾斜角与斜率[典例1]　(1)若直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)A．[－3，1]　B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C．-33，1　D．-∞，-33∪[1，＋∞)(2)(2024·河南郑州模拟)已知直线l的方程为xsinα＋3y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)A．0，π3∪2π3，π　　　B．0，π6∪5π6，πC．π6，5π6　D．π3，2π3[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　斜率取值范围的两种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在，必要时分0，π2与π2，π两种情况讨论．一般要用到y＝tanx的单调性，y＝tanx在0，π2，π2，π上都是单调递增的．6/6 [跟进训练]1．(1)(2024·安徽江淮十校模拟)已知直线l的一个方向向量为p＝sinπ3，cosπ3，则直线l的倾斜角为(　　)A．π6　　B．π3　　C．2π3　　D．4π3(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．考点二　直线方程的求法[典例2]　已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求直线方程的两种方法[跟进训练]2．(1)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________．(2)过点(3，－2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为________．考点三　直线方程的综合应用[典例3]　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．6/6 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[拓展变式]1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　处理直线方程综合应用的两大策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”．提醒：涉及直线与坐标轴截距问题时一般设截距式．[跟进训练]3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/6 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/6