【名师伴你行】（新课标）2023高考数学大一轮复习 第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时作业 理

课时作业(四十八)　直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题1．(2015·诸暨质检)已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)A．(－∞，－4]∪　　B．C.　　D．答案：A解析：如图所示，∵kPN＝＝，kPM＝＝－4，∴要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN，当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，即k≥或k≤－4，故应选A.2．(2015·济南一模)曲线y＝|x|与y＝kx－1有且只有一个交点，则实数k的取值范围是(　　)A．[－1,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：D解析：y＝|x|的图象如图所示，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，由图可知，当－1≤k≤1时，没有交点；当k<－1或k>1时，有一个交点．3．(2015·秦皇岛一模)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是(　　)A．－B．C．－D．答案：A解析：由题意，可设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解，得M，N.又因为MN的中点是P(1，－1)，所以解得k＝－.7\n4．(2015·哈尔滨模拟)函数y＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)A．45°　　B．60°C．120°　　D．135°答案：D解析：由函数y＝f(x)＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝，知f(0)＝f，即－b＝a，∴直线l的斜率为－1，∴倾斜角为135°.5．(2015·伊春一模)直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)A.B．(0，π)C.D．∪答案：D解析：直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.当0≤k≤1时，倾斜角的范围是；当－1≤k<0时，倾斜角的范围是.综上，倾斜角的取值范围是∪，故应选D.6．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为(　　)A．x＋2y－6＝0B．2x＋y－6＝0C．x－2y＋7＝0D．x－2y－7＝0答案：B解析：设直线的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则有＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋4＝9，7\n当且仅当＝，即a＝3，b＝6时取“＝”．∴直线方程为2x＋y－6＝0.故应选B.7．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，当x<0时，f(x)>1，方程y＝ax＋表示的直线是(　　)答案：C解析：∵f(x)＝ax，且x<0时，f(x)>1，∴0<a<1，>1.又∵y＝ax＋在x轴、y轴上的截距分别为－和，且>，故C项符合要求．故应选C.8．(2015·济宁模拟)若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足(　　)A．m≠0B．m≠－C．m≠1D．m≠1，m≠－，m≠0答案：C解析：由题意得2m2＋m－3，m2－m不能同时为0.故应选C.9．过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(　　)A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0答案：B解析：当直线过原点时，方程为2x－5y＝0；不过原点时，可设其截距式方程为＋＝1，再由过点(5,2)即可解出a＝6.即直线方程为2x＋y－12＝0.7\n故应选B.10．若点P(1,1)是圆x2＋(y－3)2＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　　)A．x－2y＋1＝0B．x＋2y－3＝0C．2x＋y－3＝0D．2x－y－1＝0答案：A解析：根据题意可知直线AB与PC垂直，故kAB＝－＝，从而得直线AB方程为y－1＝(x－1),整理得直线AB方程为x－2y＋1＝0.故应选A.二、填空题11．若A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．答案：－解析：由题意知＝，整理得2a＋2b＝－ab.∴＋＝－.12．如图，点A，B在函数y＝tan的图象上，则直线AB的方程为________．答案：x－y－2＝0解析：由图象可知A(2,0)，B(3,1)，由两点式得直线的方程为＝，整理得x－y－2＝0.13．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于________．答案：37\n解析：线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，即y＝4－x，代入xy得xy＝－x2＋4x＝－2＋3，所以由二次函数性质知，当x＝时，xy的最大值等于3.14．已知点P(0,2)，A(3,2)，B(0，－1)，在线段AB上任取一点M，则直线MP的倾斜角α≥的概率为________．答案：解析：由题意知直线AB的方程为y＝x－1，直线MP的倾斜角α＝时，斜率为－1，此时直线MP的方程为y＝－x＋2，解方程组得交点N，当点M在线段AN上时，直线MP的倾斜角α≥，由于|AN|＝，|AB|＝3，故所求概率为P＝＝.15．直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．答案：∪[5，＋∞)解析：如图所示，设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是k1＝5，直线PB的斜率是k2＝－.当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的变化范围为[5，＋∞)；当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围为，故直线l的斜率的取值范围是∪[5，＋∞)．16．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△ABC的平行于BC边的中位线的一般式方程和截距式方程；7\n(2)BC边的中线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．因为线段AB，AC中点坐标为，，所以这条直线的方程为＝，整理得6x－8y－13＝0，化为截距式方程为－＝1.(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线方程为＝，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为－＝1.17．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．解：由题意，可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.设A(m，m)，B(－n，n)，所以AB的中点C，由点C在y＝x上，且A，P，B三点共线得7\n解得m＝，所以A(，)．又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.7