【名师伴你行】（新课标）2023高考数学大一轮复习 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课时作业 理

课时作业(四十四)　直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．(2015·南昌模拟)设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，α⊥β”的平面α，β(　　)A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对答案：D解析：过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β垂直于α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β垂直于α.故应选D.2．(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案：D解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故应选D.3．(2015·南平3月)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案：A解析：∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．故应选A.7\n4．(2015·潍坊模拟)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC答案：D解析：因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不可能成立．故应选D.5．(2013·山东)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)A.B．C．D．答案：B解析：如图，设P0为底面ABC的中心，连接PP0，由题意知|PP0|为直三棱柱的高，∠PAP0为PA与平面ABC所成的角，S△ABC＝×()2×sin60°＝.∵三棱柱的体积V＝，∴·|PP0|＝，∴|PP0|＝.又P0为底面ABC的中心，则|AP0|等于正△ABC高的，又易知△ABC的高为，7\n∴|AP0|＝×＝1.在Rt△PAP0中，tan∠PAP0＝＝＝，∴∠PAP0＝，故应选B.6．(2015·湖州模拟)在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为(　　)A.B．C．D．答案：A解析：在菱形ABCD中连接BD交AC于点O，则AC⊥BD，在折起后的图中，由四边形ABCD为菱形且边长为1，则DO＝OB＝，由于DO⊥AC，BO⊥AC，因此∠DOB就是二面角B－AC－D的平面角，由BD＝1，得cos∠DOB＝＝＝.二、填空题7．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．答案：①③④解析：①显然错误，当平面α∥平面β，平面β内的所有直线都平行α，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图①所示，若α∩β＝l，且n∥l，当m⊥α时，m⊥n，但n∥β，所以③错误；如图②，显然当m′⊥n′时，m不垂直于n，所以④错误．7\n8.(2015·青岛模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案：DM⊥PC(答案不唯一)解析：由题意，易得BD⊥PC，所以当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.9．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案：①②③解析：由题意，知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．10．把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则BD与平面ABC所成角的正切值为________．答案：解析：如图所示，在平面ADC中，过D作DE⊥AC，交AC于点E，连接BE，7\n因为二面角B－AD－C为直二面角，BD⊥AD，所以BD⊥平面ADC，故BD⊥AC.又DE∩BD＝D，因此AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ABC，所以平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE就是BD与平面ABC所成的角．在Rt△DBE中，易求tan∠DBE＝.三、解答题11．(2015·青岛质检)如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝3BC＝6，BF＝CF＝AE＝DE＝2，EF＝4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM＝2.(1)证明：AF∥平面BDG；(2)证明：平面BGM⊥平面BFC；(3)求三棱锥F－BMC的体积V.解：(1)证明：如图连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，连接OG.∵点G为FC的中点，OG为△AFC的中位线，∴OG∥AF.∵AF⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AF∥平面BDG.(2)证明：如图连接FM.∵BF＝CF＝BC＝2，G为CF的中点，∴BG⊥CF.∵CM＝2，∴DM＝4.∵EF∥AB，四边形ABCD为矩形，∴EF∥DM，又∵EF＝4，∴四边形EFMD为平行四边形．7\n∴FM＝ED＝2，∴△FCM为正三角形，∴MG⊥CF.∵MG∩BG＝G，∴CF⊥平面BGM.∵CF⊂平面BFC，∴平面BGM⊥平面BFC.(3)VF－BMC＝VF－BMG＋VC－BMG＝×S△BMG×FC＝×S△BMG×2.∵GM＝BG＝，BM＝2，∴S△BMG＝×2×1＝，∴VF－BMC＝×S△BMC＝.12．(2015·汕头模拟)已知四棱锥PABCD的直观图和三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；(3)若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．解：(1)由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.所以VP－ABCD＝S正方形ABCD·PC＝×12×2＝，即四棱锥P－ABCD的体积为.(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.证明如下：连接AC，因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC.因为PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PC.7\n又因为AC∩PC＝C，所以BD⊥平面PAC.因为不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC.所以不论点E在何位置，都有BD⊥AE.(3)在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF.因为AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝，AE＝AE＝，所以Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，所以BF⊥AE.所以∠DFB为二面角D－AE－B的平面角．在Rt△ADE中，DF＝＝＝，所以BF＝.又BD＝，在△DFB中，由余弦定理，得cos∠DFB＝＝－，所以∠DFB＝，即二面角D－AE－B的大小为.7