2024年高考数学一轮复习讲义（学生版）第8章　§8.1　直线的方程

§8.1　直线的方程考试要求　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．知识梳理1．直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，与直线l的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为.3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含直线x＝x0斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用4 常用结论1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．(　　)(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.(　　)(4)直线y＝kx－2恒过定点(0，－2)．(　　)教材改编题1．已知点A(2,0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°2．已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为(　　)A．x＋y＝1B．x－y＝1C．y＝1D．x＝13．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．题型一　直线的倾斜角与斜率例1　(1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)A．[－，1]B．(－∞，－]∪[1，＋∞)C.D.∪[1，＋∞)(2)直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)A.B.4 C.D.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．跟踪训练1　(1)(2023·温州模拟)直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)的倾斜角的最小值是________．(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.题型二　求直线的方程例2　求符合下列条件的直线方程：(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；(2)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍；(3)直线过点(5,10)，且原点到该直线的距离为5.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2　(1)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为(　　)A．5x－2y－5＝0B．2x－5y－5＝0C．5x－2y＋5＝0D．2x－5y＋5＝0(2)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为(　　)A．y－3＝－(x＋4)B．y＋3＝(x－4)C．y－3＝(x＋4)4 D．y＋3＝－(x－4)题型三　直线方程的综合应用例3　已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．跟踪训练3　(1)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点________，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是________．(2)已知直线l过点M(1,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点．当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，则直线l的方程为________．4