2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.1　直线的方程

§8.1　直线的方程考试要求　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．知识梳理1．直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y114 截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　×　)(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．(　×　)(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.(　×　)(4)直线y＝kx－2恒过定点(0，－2)．(　√　)教材改编题1．已知点A(2,0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°答案　B解析　由题意得直线AB的斜率k＝＝，设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝，∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2．已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为(　　)A．x＋y＝1B．x－y＝1C．y＝1D．x＝1答案　D解析　因为直线l的倾斜角为90°，所以该直线无斜率，与x轴垂直，又因为直线l过点(1,1)，所以直线l的方程为x＝1.14 3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.题型一　直线的倾斜角与斜率例1　(1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)A．[－，1]B．(－∞，－]∪[1，＋∞)C.D.∪[1，＋∞)答案　B解析　如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝＝－；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．(2)直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)A.B.C.D.答案　B14 解析　直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈，所以≤cosα≤，因此k＝2cosα∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．跟踪训练1　(1)(2023·温州模拟)直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)的倾斜角的最小值是________．答案　解析　直线可化为y＝－x－.∵m2≥0，∴m2＋1≥1，则0<≤1，∴－1≤－<0.则所求倾斜角的最小值是.(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.答案　　－3解析　如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝，14 kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3.题型二　求直线的方程例2　求符合下列条件的直线方程：(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；(2)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍；(3)直线过点(5,10)，且原点到该直线的距离为5.解　(1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，∴y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.(2)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2,1)，∴1＝2k，解得k＝，∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为＋＝1，由题意可得解得∴直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0；综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.(3)当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.∴原点到直线的距离d＝＝5，解得k＝，∴所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.思维升华　求直线方程的两种方法14 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2　(1)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为(　　)A．5x－2y－5＝0B．2x－5y－5＝0C．5x－2y＋5＝0D．2x－5y＋5＝0答案　A解析　设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，因为A(5，－2)，B(7，3)，所以且解得x＝－5，y＝－3，m＝－，n＝1，即C(－5，－3)，M，N(1,0)，所以MN所在直线的方程为＝，即5x－2y－5＝0.(2)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为(　　)A．y－3＝－(x＋4)B．y＋3＝(x－4)C．y－3＝(x＋4)D．y＋3＝－(x－4)答案　C解析　方法一　因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以直线l的斜率k＝，故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．14 方法二　设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则＝(x＋4，y－3)，因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．题型三　直线方程的综合应用例3　已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．解　方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A，B(0,1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥×(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.方法二　设直线l：＋＝1，且a>0，b>0，因为直线l过点M(2,1)，所以＋＝1，则1＝＋≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.14 延伸探究1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解　由本例方法二知，＋＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝3＋＋≥3＋2，当且仅当a＝2＋，b＝1＋时，等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y＝2＋.2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．解　方法一　由本例方法一知A，B(0,1－2k)(k＜0)．所以|MA|·|MB|＝·＝2×＝2≥4.当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．此时直线l的方程为x＋y－3＝0.方法二　由本例方法二知A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＋＝1.所以|MA|·|MB|＝||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝2≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.思维升华　直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)14 的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．跟踪训练3　(1)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点________，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是________．答案　(1，－4)　[3，＋∞)解析　直线l：(a＋1)x＋y＋3－a＝0可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0，令解得∴直线l过定点(1，－4)，∵直线l可化为y＝－(a＋1)x＋a－3，又直线l不经过第三象限，∴解得a≥3.(2)已知直线l过点M(1,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点．当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，则直线l的方程为________．答案　x＋y－2＝0解析　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则A(a,0)，B(0，b)，且＋＝1，则a＋b＝ab，所以|MA|2＋|MB|2＝(a－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＋(b－1)2＝4＋a2＋b2－2(a＋b)＝4＋a2＋b2－2ab＝4＋(a－b)2≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.课时精练1．(2023·阜阳模拟)在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为(　　)A．45°B．135°C．90°D．180°答案　A解析　由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，则k＝tanα＝＝1，故倾斜角α＝45°.2．已知直线l1：x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角是60°，则k的值为(　　)14 A.或0B．－或0C.D．－答案　A解析　直线l1：x＋y＝0的斜率为k1＝－，所以直线l1的倾斜角为120°.要使直线l1与直线l2的夹角是60°，只需直线l2的倾斜角为0°或60°，所以k的值为0或.3．(2023·南京师范大学附中模拟)若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率是(　　)A．－B.C．－D.答案　C解析　由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，则平移后直线的方程为y＝k(x－3)＋b－2＝(kx＋b)＋(－3k－2)，可得kx＋b＝(kx＋b)＋(－3k－2)，即k＝－.4．若直线l的方程y＝－x－中，ab>0，ac<0，则此直线必不经过(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　C解析　由y＝－x－，ab>0，ac<0，知直线l的斜率k＝－<0，在y轴上的截距－>0，所以此直线必不经过第三象限．5．直线l：x－y＋2＝0与x轴交于点A，把l绕点A顺时针旋转45°得直线m，m的倾斜角为α，则cosα等于(　　)A．－B.C.D.答案　C14 解析　设l的倾斜角为θ，则tanθ＝，∴θ＝60°，由题意知α＝θ－45°＝60°－45°，∴cosα＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝×＋×＝.6．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　)A．x＋y－5＝0B．2x－y－1＝0C．2x－y－4＝0D．2x＋y－7＝0答案　A解析　易知A(－1,0)．∵|PA|＝|PB|，∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，∴B(5,0)．∵PA，PB关于直线x＝2对称，∴kPB＝－1.∴lPB：y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0.7．(多选)下列说法正确的有(　　)A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)C．过点(2，－1)，斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)D．斜率为－2，在y轴上截距为3的直线方程为y＝－2x±3答案　ABC解析　A中，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，所以(k，b)在第二象限，故A正确；B中，直线可写为y－2＝a(x－3)，所以直线过定点(3,2)，故B正确；C中，根据直线的点斜式方程知正确；D中，由直线的斜截式方程得y＝－2x＋3，故D错误．8．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为(　　)A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0D．x－y－1＝0答案　ABC解析　当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝a，14 把点A(1,2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.9．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．答案　解析　由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥.10．已知直线l的倾斜角为α，sinα＝，且这条直线l经过点P(3,5)，则直线l的一般式方程为________________________________．答案　3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0解析　因为sinα＝，所以cosα＝±＝±，所以直线l的斜率为k＝tanα＝±，又因为直线l经过点P(3,5)，所以直线l的方程为y－5＝(x－3)或y－5＝－(x－3)，所以直线l的一般式方程为3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0.11．已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2,则直线l经过定点________，若直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．答案　(0，－2)　[1,3]解析　由题意得直线l：y＝kx－2过定点C(0，－2)，又点A(2,4)，B(4,2)，kCA＝＝3，kCB＝＝1，要使直线l与线段AB有公共点，由图可知k∈[1,3]．12．过点P(－1,0)且与直线l1：x－y＋2＝0的夹角为的直线的一般式方程是______________．答案　x＋1＝0或x－y＋1＝0解析　直线l1的倾斜角β∈[0，π)且tanβ＝，14 则β＝，因为所求直线与直线l1的夹角为，所以所求直线的倾斜角为或，当所求直线的倾斜角为时，直线为x＝－1；当所求直线的倾斜角为时，直线为y＝(x＋1)，故直线为x－y＋1＝0.综上，所求直线为x＋1＝0或x－y＋1＝0.13．(多选)下列说法正确的是(　　)A．不经过原点的直线都可以表示为＋＝1B．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B且AB的中点为(4,1)，则直线l的方程为＋＝1C．过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2D．直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1答案　BCD解析　A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；B中，AB的中点为(4,1)，那么A(8,0)，B(0,2)，则直线l的方程为＋＝1，故B对；C中，直线过原点时方程为y＝x，不过原点时方程为x＋y＝2，故C对；D中，方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D对．14．(2023·天津模拟)若直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点，则l斜率的取值范围为________；其倾斜角的取值范围为____________________．答案　(－∞，1]　∪解析　因为直线l经过A(2,1)，B(1,m2)两点，所以l斜率k＝＝1－m2≤1，所以l斜率的取值范围为(－∞，1]，14 设其倾斜角为α，α∈[0，π)，则tanα≤1，所以其倾斜角的取值范围为∪.15．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)A．2B．3C．3D．6答案　D解析　由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1,0)，动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令可得B(2,3)，又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因为≥2，所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号．16．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．答案　16解析　根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又因为C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又因为ab>0，故a<0，b<0.根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.14