2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第八章直线和圆、圆锥曲线8.1直线的方程课件

§8.1直线的方程第八章　直线和圆、圆锥曲线 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式).考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则_____就是这条直线的方向向量.2.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，_______与直线l_____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为_____________.x轴正向向上0°≤α<180° 3.直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的_______叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝______(α≠90°).(2)过两点的直线的斜率公式正切值tanα如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝_______. 4.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式_______________不含直线x＝x0斜截式__________不含垂直于x轴的直线两点式__________________________不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式__________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式________________________平面直角坐标系内的直线都适用y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋bAx＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”. 2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.3.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A). 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大.()(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.()(4)直线y＝kx－2恒过定点(0，－2).()×××√ A.30°B.60°C.120°D.150°√∴α＝60°. 2.已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为A.x＋y＝1B.x－y＝1C.y＝1D.x＝1因为直线l的倾斜角为90°，所以该直线无斜率，与x轴垂直，又因为直线l过点(1,1)，所以直线l的方程为x＝1.√ 3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________________.3x－2y＝0或x＋y－5当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，＝0解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0. 探究核心题型第二部分 题型一直线的倾斜角与斜率√ 延伸探究本例(1)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是________. 思维升华 跟踪训练1(1)若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是_____________________.(－∞，－2)∪(1，＋∞) (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为_____，_____.－3 如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系.设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°， 例2求符合下列条件的直线方程：题型二求直线的方程 (2)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍； 当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2,1)， 综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0. (3)直线过点(5,10)，且原点到该直线的距离为5. 当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.∴所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式.(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数. 跟踪训练2(1)已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为A.2x＋y－12＝0B.2x－y－12＝0C.2x＋y－8＝0D.2x－y＋8＝0√整理得2x＋y－8＝0. √(2)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为 方法一因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以3(x＋4)－2(y－3)＝0， 例3已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.题型三直线方程的综合应用 方法一设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，即x＋2y－4＝0. 且a>0，b>0，因为直线l过点M(2,1)， 即x＋2y－4＝0. 延伸探究1.在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程. 2.本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程. 即k＝－1时取等号.此时直线l的方程为x＋y－3＝0. ＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决. 跟踪训练3(1)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点_________，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是__________.直线l：(a＋1)x＋y＋3－a＝0可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0，∴直线l过定点(1，－4)，∵直线l可化为y＝－(a＋1)x＋a－3，又直线l不经过第三象限，(1，－4)[3，＋∞) (2)已知直线l过点M(1,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点.当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，则直线l的方程为___________.x＋y－2＝0 所以|MA|2＋|MB|2＝(a－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＋(b－1)2＝4＋a2＋b2－2(a＋b)＝4＋a2＋b2－2ab＝4＋(a－b)2≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 课时精练第三部分 1.(2023·阜阳模拟)在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为A.45°B.135°C.90°D.180°12345678910111213141516√基础保分练由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k，倾斜角为α， 2.(2022·丽江模拟)已知直线3x－my＋1＝0的倾斜角为60°，则实数m的值为√12345678910111213141516由题意可知m≠0， √123456789101112131415163.(2023·南京师范大学附中模拟)若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率是 12345678910111213141516由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，则平移后直线的方程为y＝k(x－3)＋b－2＝(kx＋b)＋(－3k－2)，可得kx＋b＝(kx＋b)＋(－3k－2)， 12345678910111213141516A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限√ 12345678910111213141516所以此直线必不经过第三象限. 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516由题意知α＝θ－45°＝60°－45°， 123456789101112131415166.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是A.x＋y－5＝0B.2x－y－1＝0C.2x－y－4＝0D.2x＋y－7＝0√ 12345678910111213141516易知A(－1,0).∵|PA|＝|PB|，∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，∴B(5,0).∵PA，PB关于直线x＝2对称，∴kPB＝－1.∴lPB：y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0. 7.(多选)下列说法正确的有A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限B.直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)12345678910111213141516D.斜率为－2，在y轴上截距为3的直线方程为y＝－2x±3√√√ 12345678910111213141516A中，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，所以(k，b)在第二象限，故A正确；B中，直线可写为y－2＝a(x－3)，所以直线过定点(3,2)，故B正确；C中，根据直线的点斜式方程知正确；D中，由直线的斜截式方程得y＝－2x＋3，故D错误. 8.(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为A.x－y＋1＝0B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0D.x－y－1＝012345678910111213141516√√√ 12345678910111213141516所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝a，把点A(1,2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0. 9.已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为_________.12345678910111213141516 12345678910111213141516∴其倾斜角为60°，∴直线l的倾斜角为120°， 11.已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2,则直线l经过定点________，若直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围是______.12345678910111213141516(0，－2)[1,3]要使直线l与线段AB有公共点，由图可知k∈[1,3]. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516综合提升练13.(多选)下列说法正确的是√√√ 12345678910111213141516A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；C中，直线过原点时方程为y＝x，不过原点时方程为x＋y＝2，故C对； 12345678910111213141516(－∞，1]14.(2023·天津模拟)若直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点，则l斜率的取值范围为__________；其倾斜角的取值范围为_______________.因为直线l经过A(2,1)，B(1,m2)两点，所以l斜率的取值范围为(－∞，1]，设其倾斜角为α，α∈[0，π)，则tanα≤1， √12345678910111213141516拓展冲刺练15.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为 12345678910111213141516由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1,0)，又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18， 16.若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为_____.1234567891011121314151616 12345678910111213141516所以－2(a＋b)＝ab.又因为ab>0，故a<0，b<0.