2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第七章立体几何与空间向量7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件

§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系第七章　立体几何与空间向量 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.基本事实1：过_______________的三个点，有且只有一个平面.基本事实2：如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____过该点的公共直线.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线______.不在一条直线上两个点一条平行 2.“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面.3.空间中直线与直线的位置关系相交平行相交共面直线_____直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；_____直线：在同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在_____一个平面内，没有公共点.平行任何 图形语言符号语言公共点直线与平面相交____________个平行___________个在平面内_____________个4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系a∩α＝A1a∥α0a⊂α无数 平面与平面平行___________个相交______________个α∥β0α∩β＝l无数 5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________.6.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：______.相等或互补 1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.2.分别在两个平行平面内的直线平行或异面. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.()(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)两两相交的三条直线共面.()×××× 1.(多选)如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是A.BM与ED平行B.CN与BM成60°角C.CN与BE是异面直线D.DM与BN是异面直线√√ 正方体的直观图如图所示.很显然，BM与ED不平行，故A错误；连接AN，AC，易知△ACN是等边三角形，CN与BM所成角即为∠ANC＝60°，故B正确；连接BE，易知CN∥BE，故C错误；连接BN，DM，易知DM与BN是异面直线，故D正确. 2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与bA.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.√ 3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；AC＝BD∴四边形EFGH为平行四边形，∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD. (2)当AC，BD满足条件__________________时，四边形EFGH为正方形.AC＝BD且AC⊥BD∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD. 探究核心题型第二部分 例1已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；题型一基本事实的应用如图所示，连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面. (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点.所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线. (3)DE，BF，CC1三线交于一点.因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点. 共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.思维升华 跟踪训练1(1)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M√ 因为AB⊂γ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.所以γ与β的交线必经过点C和点M. ①证明：四边形BCHG是平行四边形； 故GH∥BC且GH＝BC，所以四边形BCHG是平行四边形. ②C，D，F，E四点是否共面？为什么？C，D，F，E四点共面.理由如下：由①知BG∥CH，所以EF∥CH.故EC，FH共面.又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面. 命题点1空间位置关系的判断例2(1)(多选)下列推断中，正确的是A.M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈lB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC.l⊄α，A∈l⇒A∉αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合√题型二空间位置关系的判断√√ 对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D正确. (2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是A.异面或平行B.异面或相交C.异面D.相交、平行或异面√ 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交；②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面. 命题点2异面直线所成的角例3(1)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为√ 如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F， (2)(2022·长春模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为BC，A1B1的中点，则异面直线PQ与A1C1所成角的正弦值为√ 如图，取AB的中点M，连接QM，MP，AC，设正方体的棱长为2，由于M，P分别为AB，BC的中点，则MP∥AC，又在正方体中，AC∥A1C1，因此可得A1C1∥MP，故∠QPM(或其补角)即为异面直线PQ与A1C1所成角， 因为QM∥AA1，所以QM⊥平面ABCD，因为MP⊂平面ABCD，所以QM⊥MP，在Rt△QMP中， (1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型.(2)求异面直线所成角的方法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解 跟踪训练2(1)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线√√ 因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确. 由题意，EF∥E1F1，则∠AE1F1即为所求.√ (3)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为√ 例4(1)正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，E，F分别是AB，AD，B1C1，C1D1的中点，则正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是A.正方形B.平行四边形C.正五边形D.正六边形题型三空间几何体的切割(截面)问题√ 如图所示，由EF∥PQ，可以确定一个平面，这个平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，DD1分别交于M，N，连接FN，NQ，PM，ME，由正方体的性质得FN∥MP，NQ∥ME，且EF＝FN＝NQ＝QP＝PM＝ME，∴正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是正六边形. (2)如图，圆锥VO的母线长为l，轴截面VAB的顶角∠AVB＝150°，则过此圆锥的顶点作该圆锥的任意截面VCD，则△VCD面积的最大值是_____，此时∠VCD＝_____.45° (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线. 跟踪训练3(1)(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上(异于端点)，则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形(截面)可能是A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形√√√当BE＝CF时，截面是矩形；当2BE＝CF时，截面是菱形；当BE>CF时，截面是梯形；截面不可能是正方形. (2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为_____. 如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，设等腰梯形MNDB的高为h， ∴梯形MNDB的面积为 课时精练第三部分 1.若直线上有两个点在平面外，则A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内C.直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内12345678910111213141516√基础保分练根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内. 2.(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图形是√12345678910111213141516√√ 12345678910111213141516在A中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，所以P，Q，R，S四点共面；在B中过点P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；在C中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，所以P，Q，R，S共面；在D中PS与QR为异面直线，所以四点不共面. √123456789101112131415163.已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，则A.P∈cB.P∉cC.c∩a＝∅D.c∩β＝∅ 12345678910111213141516如图，因为a∩b＝P，所以P∈a，P∈b，因为α∩β＝a，β∩γ＝b，所以P∈α，P∈γ，而γ∩α＝c，所以P∈c. 123456789101112131415164.在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是的中点，F是AB的中点，则A.AE＝CF，AC与EF是共面直线B.AE≠CF，AC与EF是共面直线C.AE＝CF，AC与EF是异面直线D.AE≠CF，AC与EF是异面直线√ 12345678910111213141516如图，由题意知，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，E是的中点，F是AB的中点，AC⊂平面ABC，EF与平面ABC相交，且与AC无交点，所以AC与EF是异面直线，故A，B错误； 123456789101112131415165.(多选)用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是A.等边三角形B.直角梯形C.菱形D.五边形√√√如图，用一个平面截正方体，结合选项知截面可能出现的形状是等边三角形，菱形，五边形. 123456789101112131415166.(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为√ 12345678910111213141516方法一如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP，所以C1P⊥BP. 12345678910111213141516方法二以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)， 12345678910111213141516方法三如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角.根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点. 7.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有____对.123456789101112131415163画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF).故共有3对. 8.如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则这两个四棱柱的表面相交的交线段总长度为______.12345678910111213141516 由题可知，这两个四棱柱的表面相交的交线段由8条长度相等的线段构成，如图所示，选取一个侧面进行分析，其中AC，AB均为交线段，且AC＝AB，BC为底面的对角线长，D为BC的中点，12345678910111213141516 9.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.12345678910111213141516(1)求证：E，F，G，H四点共面； 12345678910111213141516因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面. (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.12345678910111213141516因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线. (1)三棱锥P－ABC的体积；12345678910111213141516 (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.12345678910111213141516 12345678910111213141516如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角). 12345678910111213141516综合提升练√√√ 12345678910111213141516将三棱锥补形为长方体，如图所示.其中BE＝BN＝1，BF＝2，连接MF，则AM∥BF，AM＝BF，所以四边形AMFB为平行四边形，所以AB∥MF，又四边形MCFD为正方形，所以MF⊥CD，所以AB⊥CD，故A正确； 12345678910111213141516长方体的体积V1＝1×1×2＝2， 12345678910111213141516长方体的外接球也是三棱锥A－BCD的外接球，连接MN，交AD于点O，因为MN∥BC，所以∠AOM(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角， 12345678910111213141516 12.如图，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中点，若AB＝6，则过A，E，F三点的截面的面积为12345678910111213141516√ 12345678910111213141516连接EF，作直线EF分别与直线DC，DD1的延长线相交于点P，Q，连接AP交BC于点M，连接AQ交A1D1于点N，连接NF，ME.则五边形AMEFN即为过A，E，F三点的截面，如图所示. 12345678910111213141516 1234567891011121314151660° 12345678910111213141516在平面ABD中，过E作EG∥AB，交DB于点G，连接GF，如图，则GF∥CD，∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成角， 12345678910111213141516∴∠EGF＝120°，∴AB与CD所成角的大小为60°. 1234567891011121314151652π(1)球O的表面积为_____； 123456789101112131415164π(2)若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是_____.由题意，得△ABC为直角三角形，所以D为底面ABC的外接圆圆心，当DO⊥截面时，截面面积最小，即截面为平面ABC的外接圆，半径为2，故截面面积的最小值为π×22＝4π. √12345678910111213141516拓展冲刺练 12345678910111213141516如图，连接BD，A1D，过点P作BD，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR，因为BD∥B1D1，所以PQ∥B1D1，因为B1D1⊂平面B1D1C，PQ⊄平面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C，因为A1D∥B1C，所以PR∥B1C，因为B1C⊂平面B1D1C，PR⊄平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C，又PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面B1D1C，则△PQR为截面， 12345678910111213141516 16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点.12345678910111213141516(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由； 12345678910111213141516存在.当G为PA的中点时满足条件.如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，所以GE∥AB.又AB∥DC，所以GE∥DC，所以G，E，C，D四点共面. (2)若PC＝2，求三棱锥P－ACE的体积.12345678910111213141516 12345678910111213141516因为E是PB的中点，因为AD⊥DC，AB∥DC，故由题易知AC⊥BC，