2025年高考数学一轮讲义第8章 第2课时　两条直线的位置关系

第2课时　两条直线的位置关系[考试要求]　1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行____________________________________________________________________垂直______________________________________相交________________________________2．两条直线的交点坐标已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝__．特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝__．(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝__．(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝__．[常用结论]1．三种直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.5/5 2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(5)点(x，y)关于y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2．(　　)(2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1．(　　)(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为kx0+b1+k2．(　　)(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l上．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P77练习T3改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)A．2　B．2－2C．2－1　D．2＋12．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T8改编)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为(　　)A．2x＋y－1＝0　B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0　D．2x－y－3＝03．(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3T9改编)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．4．(人教A版选择性必修第一册P79练习T2改编)已知直线3x＋4y－3＝0与直线5/5 6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．考点一　两条直线位置关系的判断及应用[典例1]　(1)(2023·浙江温州三模)已知直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，若l1⊥l2，则a＋b＝(　　)A．－1　　B．0　C．1　　D．2(2)(2023·河北石家庄三模)直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：x＋ay－1＝0平行的充要条件是(　　)A．a＝1　B．a＝－1C．a＝1或－1　D．a＝0[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”[跟进训练]1．(1)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是(　　)A．相交但不垂直　B．垂直C．平行　D．重合(2)(2023·北京丰台区二模)已知点P(0，2)，直线l：x＋2y－1＝0，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是________．考点二　两条直线的交点与距离问题[典例2]　(1)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)A．1　B．25/5 C．3　D．2(2)经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________．(3)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程．2．点到直线、两平行直线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行直线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．[跟进训练]2．(1)过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为(　　)A．3x－2y－1＝0　B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0　D．2x－3y－1＝0(2)l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．考点三　对称问题　关于点对称[典例3]　过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　关于线对称5/5 [典例4]　在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(0，－2)，点B(1，0)，P为直线2x－4y＋3＝0上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值是(　　)A．5　B．4C．5　D．6[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　直线关于直线的对称问题[典例5]　两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为(　　)A．3x－2y－4＝0　B．2x＋3y－6＝0C．2x－3y－4＝0　D．3x－2y－6＝0[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程(组)解题．[跟进训练]3．(1)(2023·静安区二模)设直线l1：x－2y－2＝0与l2关于直线l：2x－y－4＝0对称，则直线l2的方程是(　　)A．11x＋2y－22＝0　B．11x＋y＋22＝0C．5x＋y－11＝0　D．10x＋y－22＝0(2)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．5/5