2025年高考数学一轮讲义第6章 第2课时　等差数列

第2课时　等差数列[考试要求]　1．理解等差数列的概念.2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3．能在具体的情境问题中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，__叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝______．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝__________________．(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn-12d或Sn＝na1+an2.3．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列{an}的第n项an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是一次函数f(x)＝dx＋a1－d当x＝n时的函数值，一次项系数为公差d.若公差d＞0，则{an}为递增数列；若公差d＜0，则{an}为递减数列．(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋nn-12d＝d2n2＋a1-d2n可以看成二次函数f(x)＝d2x2＋a1-d2x当x＝n时的函数值，常数项为0.[常用结论]等差数列的常用性质(1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(3)等差数列{an}的前n项和Sn满足：数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也7/7 是等差数列，且公差为m2d．(4)若{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则Snn也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的12.(5)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan+1.(6)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②S奇S偶＝n+1n.(7)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则anbn＝S2n-1T2n-1．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2．(　　)(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P15练习T4改编)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于(　　)A．14　　B．12　C．2　　D．－122．(人教A版选择性必修第二册P23练习T3改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)A．35　B．42C．49　D．633．(人教A版选择性必修第二册P23例9改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________．7/7 4．(人教A版选择性必修第二册P23练习T5改编)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为________．考点一　等差数列基本量的运算[典例1]　(1)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　)A．25　　B．22　　C．20　　D．15(2)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)(　　)A．一尺五寸　B．二尺五寸C．三尺五寸　D．四尺五寸[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过方程组达到“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．[跟进训练]1．(1)设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝12a5，则S9S4＝(　　)A．15　B．1C．－1　D．－9(2)在数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+2，则数列{an}的通项公式为an＝7/7 ________．考点二　等差数列的判定与证明[典例2]　(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等差数列；②数列{Sn}是等差数列；③a2＝3a1.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．[跟进训练]2．(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，12Sn＝an－2n-1，证明：an2n-1是等差数列．(2)已知数列{an}的前n项的积记为Tn，且满足1Tn＝an-12an，证明：数列{Tn}为等差数列．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　等差数列性质的应用　等差数列项的性质[典例3]　(1)(2024年1月九省联考卷)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝(　　)A．120　B．140C．160　D．180(2)已知等差数列an满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则a4－3a6的值为(　　)A．－6　B．6C．－12　D．127/7 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　等差数列前n项和的性质[典例4]　(1)(2023·广东深圳二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S20＝10，则S30＝(　　)A．0　B．－10C．－30　D．－40(2)有两个等差数列an，bn，其前n项和分别为Sn，Tn.①若anbn＝2n-13n+1，则S11T11＝________；②若SnTn＝2n-13n+1，则a5b4＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用等差数列的性质解题的三个关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般考虑应用项的性质，如利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分．(2)在Sn＝na1+an2中，Sn与a1＋an可相互转化．(3)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m.[跟进训练]3．(1)(2023·湖南岳阳一模)已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为(　　)A．1666　B．1654C．1472　D．1460(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am-1+am+1-am2－1＝0，S2m－1＝39，则m等于(　　)A．39　B．207/7 C．19　D．10(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，S20202020-S20142014＝6，则S2024＝________．考点四　等差数列的前n项和及其最值[典例5]　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15．求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．[四字解题]读想算思S10＝S15；求Sn的最大值及相应n的值求最值的方法函数法前n项和Sn数形结合图象法邻项变号法通项an转化化归性质法性质am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数的最值的方法求解．特别提醒，n∈N*.(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足am≥0，am+1≤0的项数m使得Sn取得最大值Sm；②当a1<0，d>0时，满足am≤0，am+1≥0的项数m使得Sn取得最小值Sm.[跟进训练]4．(1)(2024·辽宁铁岭模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12>0，S13<0，则以下选项中，最大的是(　　)A．S12　B．S77/7 C．S6　D．S1(2)(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.①求{an}的通项公式；②求数列{|an|}的前n项和Tn.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7/7