2025年高考数学一轮讲义第2章 第11课时　函数模型的应用

第11课时　函数模型的应用[考试要求]　1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3．会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．1．指数、对数、幂函数模型性质比较　　函数性质　　y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调____单调____单调递增增长速度越来____越来____相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与____平行随x的增大逐渐表现为与____平行随n值变化而各有不同2．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)[常用结论]1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．6/6 2．“对勾”函数f(x)＝x＋axa>0在(0，＋∞)上的性质：在(0，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，当x＝a时f(x)取最小值2a.一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　)(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞1)的增长速度．(　　)(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P138探究改编)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(　　)A．y＝2x　　　　B．y＝lgxC．y＝x2　D．y＝2x2．(人教A版必修第一册P148例3改编)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．现有如下4个模拟函数：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝x2－5.4x＋6；④y＝log2x.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．3．(人教A版必修第一册P86T4改编)某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日单价x(单位：元)之间的关系式为y＝－x225＋12x－210，那么，日单价为________元时，该商品的日利润最大，最大日利润为________元．4．(人教A版必修第一册P72练习T2改编)6/6 某城市客运公司确定客运票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/千米，如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/千米定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．考点一　用函数图象刻画实际问题[典例1]　(1)高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　)A　　　　　　　BC　　　　　　　D(2)(2024·云南师大附中期末)如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是(　　)A．y＝mx＋n(m>0)B．y＝mx＋n(m>0)C．y＝max＋n(m>0，a>1)D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/6 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况．[跟进训练]1．在西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律研究中，统计显示，生长4年的树高为73m，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(m)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝12t＋a；④y＝t＋a中(其中a为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________m.考点二　已知函数模型的实际问题[典例2]　(2023·福建漳州三模)英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过tmin物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有90℃的物体，若放在10℃的空气中冷却，经过10min物体的温度为50℃，则若使物体的温度为20℃，需要冷却(　　)A．17.5min　　　B．25.5minC．30min　D．32.5min[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．6/6 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．[跟进训练]2．住房的许多建材都会释放甲醛．甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08mg/m3，否则，该新房达不到安全入住的标准．若某套住房自装修完成后，通风x(x＝1，2，3，…，50)周与室内甲醛浓度y(单位：mg/m3)之间近似满足函数关系式y＝0.48－0.1f(x)(x∈N*)，其中f(x)＝loga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1，2，3，…，50)，且f(2)＝2，f(8)＝3，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风(　　)A．17周　B．24周C．28周　D．26周考点三　构建函数模型的实际问题[典例3]　小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋x；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋100x－38．每件商品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　构建函数模型解决实际问题时需注意以下四个步骤6/6 [跟进训练]3．(2024·东北师大附中模拟)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那他至少经过几小时才能驾驶汽车？(参考数据lg2≈0.301)(　　)A．5　　B．6C．7　　D．86/6