2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.12　函数模型的应用

§2.12函数模型的应用第二章函　数 考试要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练内容索引 落实主干知识第一部分 1.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随n值的变化而各有不同y轴x轴 2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利.()(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增长速度.()(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.()××√× 1.当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是A.y＝5xB.y＝log5xC.y＝x5D.y＝5x√结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快. 2.在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x，y最适合的函数模型是A.y＝2xB.y＝x2－1C.y＝2x－2D.y＝log2xx0.500.992.013.98y－0.99－0.010.982.00√ 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.x0.500.992.013.98y－0.99－0.010.982.00 3.某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元.150 探究核心题型第二部分 例1(1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒题型一用函数图象刻画变化过程√√√ 从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确； 服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误. (2)根据一组试验数据画出的散点图如图所示.现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝log2x；⑤y＝＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选______.(填序号)④由图可知上述点大体分布在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律. 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.思维升华 跟踪训练1如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是下图中的√ 由函数可知，有三段直线，又当点P在BC上时是减函数，故选A. 例2(1)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6题型二已知函数模型的实际问题√ (2)(2022·莆田质检)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常数.如果2h后还剩下90%的污染物，5h后还剩下30%的污染物，那么8h后还剩下_____%的污染物.10 设初始污染物数量为P′，两式相除得e3k＝3. 已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 跟踪训练2(1)(多选)(2023·德州模拟)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗，那么1个感染者传染人数为(N－V).已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率不可能为A.45%B.55%C.65%D.75%√√√ (2)牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t为时间，单位：分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设一杯开水温度θ1＝100℃，环境温度θ0＝20℃，常数k＝0.2，大约经过________分钟水温降为40℃(参考数据：ln2≈0.7)A.10B.9C.8D.7√ 例3智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0与人的反应时间t1，系统反应时间t2，制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示.当车速为v(米/秒)，且0<v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且1≤k≤2).题型三构造函数模型的实际问题阶段准备人的反应系统反应制动时间t0t1＝0.8秒t2＝0.2秒t3距离d0＝10米d1d2 (1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式，并求当k＝2时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；阶段准备人的反应系统反应制动时间t0t1＝0.8秒t2＝0.2秒t3距离d0＝10米d1d2 即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒. (2)若要求汽车在k＝1的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位：米/秒)?阶段准备人的反应系统反应制动时间t0t1＝0.8秒t2＝0.2秒t3距离d0＝10米d1d2 即v2＋20v－800<0，－40<v<20，又0<v≤33.3，故0<v<20，所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下. 构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解. 跟踪训练3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)A.4B.5C.6D.7√ 设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.9n－1.由100×0.9n－1<60，得0.9n－1<0.6，则(n－1)ln0.9<ln0.6，故至少需要“打水漂”的次数为6. (2)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司的最大月利润是________万元.37.5 则最大月利润为37.5万元. 课时精练第三部分 基础保分练1.有一组实验数据如下表所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04则最能体现这组数据关系的函数模型是A.y＝2x＋1－1B.y＝x3C.y＝2log2xD.y＝x2－1√将各点(x，y)分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.1234567891011121314 2.某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进校园，某学生早上上学骑自行车从家里出发，离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回家取出入证，然后乘坐出租车以更快的速度赶往学校，令x(单位：分钟)表示离开家的时间，y(单位：千米)表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是√1234567891011121314 1234567891011121314中途回家取证件，因此中间有零点，排除A，B，第二次离开家速度更大，直线的斜率更大，故只有C满足题意. 12345678910111213143.农业农村部发布2022年农区蝗虫防控技术方案.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1200倍大约经过(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1200≈7.0901)A.122天B.124天C.130天D.136天√ 由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%.设经过n天后蝗虫数量达到原来的1200倍，∴1.06n＝1200，∵n∈N*，∴大约经过122天能达到最初的1200倍.1234567891011121314 4.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强m与标准声调m0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若A同学大喝一声的声强大约相当于100个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为A.0.7米B.7米C.50米D.60米√1234567891011121314 1234567891011121314设B同学的声强为m，喷出的泉水高度为x，则A同学的声强为100m，喷出的泉水高度为70，相减得2＝14－0.2x⇒0.2x＝12⇒x＝60. 12345678910111213145.大气压强p＝，它的单位是“帕斯卡”(Pa,1Pa＝1N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p＝p0e－kh(k＝0.000126m－1)，p0是海平面大气压强.已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，，那么A1，A2两处的海拔高度的差约为(参考数据：ln3≈1.099)A.660mB.2340mC.6600mD.8722m√ 1234567891011121314设A1，A2两处的海拔高度分别为h1，h2，∴A1，A2两处的海拔高度的差约为8722m. 6.(多选)目前部分城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表：1234567891011121314年份x2018201920202021包装垃圾生产量y(万吨)46913.5(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771) 则以下说法正确的是A.选择模型①，函数模型解析式为y＝4×，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系B.选择模型②，函数模型解析式为y＝＋4，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系C.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨D.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨√年份x2018201920202021包装垃圾生产量y(万吨)46913.5√1234567891011121314 1234567891011121314年份x2018201920202021包装垃圾生产量y(万吨)46913.5显然A正确，B错误； 年份x2018201920202021包装垃圾生产量y(万吨)46913.5∴x－2018>10，1234567891011121314 1234567891011121314年份x2018201920202021包装垃圾生产量y(万吨)46913.5∴x>2023.6786，即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确. 7.“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大.现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________.(保留到个位)(lg61≈1.79)4621234567891011121314 ∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462.1234567891011121314 12345678910111213148.里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍.610000 1234567891011121314M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍. 12345678910111213149.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式； 由题意得当，0<x≤4时，v＝2；当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)，显然v＝ax＋b在(4,20]内单调递减，1234567891011121314 1234567891011121314(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值. 设年生长量为f(x)千克/立方米，当0<x≤4时，f(x)单调递增，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；1234567891011121314 1234567891011121314所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 10.(2023·保定模拟)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝＋k(p>0，k>0)可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；1234567891011121314 1234567891011121314由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，y＝＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均为增函数，随着x的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，而函数y＝＋k(p>0，k>0)的值增加得越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求. 1234567891011121314 1234567891011121314(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771) 1234567891011121314 1234567891011121314因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份. 综合提升练11.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于参考数据：log20.75≈－0.4参考时间轴：A.宋B.唐C.汉D.战国√1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314解得t≈5730×0.4＝2292，由2021－2292＝－271得，对应时期为战国，所以可推断该文物属于战国. 12.医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式lnkx＝lnk0＋ln(1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，对于某种药物，给药时间12h后，人体内的药物含量为，则该药物的消除速度k的值约为(参考数据：ln2≈0.693)A.0.1055B.0.1065C.0.1165D.0.1155√1234567891011121314 1234567891011121314解得k≈0.1155. 拓展冲刺练13.(多选)(2023·济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是A.当x>1时，甲走在最前面B.当x>1时，乙走在最前面C.当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲√√1234567891011121314 1234567891011121314甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确； 1234567891011121314指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确. 14.已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是A.(5,6)B.(6,7)C.(7,8)D.(8,9)√1234567891011121314 A模式用了m小时，电量为3000－300m，m小时后B模式用了(10－m)小时，∴2x－1－x<0，令f(x)＝2x－1－x，即求f(x)<0时，x的取值范围.1234567891011121314 1234567891011121314∵f(1)＝0，f(2)＝0，又由指数函数与一次函数图象知，当1<x<2时，f(x)<0，∴1<10－m<2，∴8<m<9.