2025年高考数学一轮讲义第2章 第9课时　函数的图象

第9课时　函数的图象[考试要求]　1．掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题.2．掌握图象的作法：描点法和图象变换法.3．会运用函数的图象理解和研究函数性质．1．利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减．(2)对称变换①y＝f(x)的图象关于x轴对称y＝__________的图象；②y＝f(x)的图象关于y轴对称y＝__________的图象；③y＝f(x)的图象关于原点对称y＝____________的图象；④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象关于直线y=x对称y＝___________________的图象．(3)伸缩变换①y＝f(x)的图象a＞1，横坐标缩短为原来的1a，纵坐标不变0＜a＜1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y＝__________的图象；7/7 ②y＝f(x)的图象a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a，横坐标不变y＝__________的图象．(4)翻折变换①y＝f(x)的图象x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y＝____________的图象；②y＝f(x)的图象y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变y＝____________的图象.[常用结论]1．函数图象自身的对称关系(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a+b2对称．(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．2．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(　　)(2)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．(　　)(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P81例5改编)函数y＝1－1x-1的图象是(　　)A　　　　　　　　　B7/7 C　　　　　　　　　D2．(人教A版必修第一册P72练习T1改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)A　　　　　　　　BC　　　　　　　　D3．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)已知图甲为函数y＝f(x)的图象，则图乙中的图象对应的函数可能为(　　)A．y＝|f(x)|　　　B．y＝f(|x|)C．y＝f(－|x|)　D．y＝－f(|x|)4．(人教A版必修第一册P159T1(1)改编)函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________．考点一　作出函数的图象[典例1]　作出下列函数的图象．(1)y＝12x；(2)y＝|log2(x＋1)|；7/7 (3)y＝2x-1x-1；(4)y＝x2－2|x|－1.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．(3)作图时多注意定点、奇偶性、渐近线、极值、零点等性质．[跟进训练]1．作出下列函数的图象．(1)y＝10|lgx|；(2)f(x)＝[x]＋2([x]表示不大于x的最大整数)．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　函数图象的辨识[典例2]　(1)(2023·福建省高考适应性练习)函数f(x)＝lnx-x2+2x的图象大致为(　　)A　　　　　　　　　BC　　　　　　　　　D(2)(2023·天津高考)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)7/7 A．f(x)＝5ex-e-xx2+2　　　B．f(x)＝5sinxx2+1C．f(x)＝5ex+e-xx2+2　D．f(x)＝5cosxx2+1[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　辨析函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(3)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．[跟进训练]2．(1)已知函数f(x)＝x2，x≥0，1x，x<0，g(x)＝f(－x)，则函数g(x)的图象大致是(　　)A　　　　　　　　　B7/7 C　　　　　　　　　D(2)(2023·山东滨州二模)函数f(x)＝3+cosxax2-bx+c的图象如图所示，则(　　)A．a＞0，b＝0，c＜0　B．a＜0，b＝0，c＜0C．a＜0，b＜0，c＝0　D．a＞0，b＝0，c＞0考点三　函数图象的应用　研究函数的性质[典例3]　(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a>b，若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是(　　)A．函数F(x)是偶函数B．方程F(x)＝0有3个解C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增D．函数F(x)有4个单调区间[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解不等式[典例4]　已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(　　)A．(－1，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(0，1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求参数的取值范围7/7 [典例5]　(1)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝log4x，0＜x≤4，x2-10x+25，x＞4，a，b，c，d是互不相同的正数，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，则abcd的取值范围是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)注意性质与图象特征的对应关系．(2)某些方程和不等式的求解问题，可转化为图象的交点问题，体现了数形结合思想．[跟进训练]3．(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B．f(x)是偶函数，在区间(－∞，1)上单调递减C．f(x)是奇函数，在区间(－1，1)上单调递减D．f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增(2)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1}D．{x|－1＜x≤2}(3)已知函数f(x)＝log13x，x＞0，2x，x≤0，若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．7/7