2024年高考数学一轮复习： 函数与基本初等函数 第06讲 函数的图象（讲义）（解析版）

第06讲函数的图象目录考点要求考题统计考情分析（1）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.（2）会画简单的函数图象.（3）会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.2022年天津卷第3题，5分2022年全国乙卷第8题，5分2022年全国甲卷第5题，5分基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一，是研究函数性质的重要工具．高考中总以一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数性质一并考查，考查的内容主要有知式选图、知图选式、图像变换以及灵活地应用图像判断方程解的个数，属于每年必考内容之一． 一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数．二、函数图像作法1、直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）．2、图像的变换（1）平移变换①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；（2）对称变换①函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称；②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）．注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．⑤函数与的图像关于对称．（3）伸缩变换①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到．②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到．【解题方法总结】（1）若恒成立，则的图像关于直线对称．（2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称． （3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称．（4）函数与函数的图象关于直线对称．（5）函数....与函数的图象关于直线对称．（6）函数与函数的图象关于点中心对称．（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．题型一：由解析式选图（识图）【例1】（2023·山东烟台·统考二模）函数的部分图象大致为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，所以为偶函数，故排除BD.当时，，排除A.故选：C.【对点训练1】（2023·重庆·统考模拟预测）函数的图像是（    ）A．  B．   C．  D．  【答案】B【解析】因为，令，则，即，解得，或，解得，所以当时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，所以排除AD；当时，，则，当时，，所以当时，，函数单调递增，所以B正确；故选：B.【对点训练2】（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）函数的部分图象大致是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由解析式可得，，排除A；观察C、D选项，其图象关于纵轴对称，而， 说明不是偶函数，即其函数图象不关于纵轴对称，排除C、D；显然选项B符合题意.故选：B【对点训练3】（2023·全国·模拟预测）函数的大致图像为（    ）A．    B．    C．  D．  【答案】B【解析】因为，其定义域为，所以，所以为偶函数，排除选项A，D，又因为，因为，所以，所以，排除选项C.故选：B.【解题方法总结】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型二：由图象选表达式【例2】（2023·四川遂宁·统考二模）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（    ）A．B． C．D．【答案】A【解析】对于A，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故A正确；对于B，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故B错误；对于C，函数，因为，故C错误；对于D，函数，，故D错误，故选：A．【对点训练4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数在上的图像如图所示，则的解析式可能是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题图，知函数的图像关于y轴对称，所以函数是偶函数，故排除A；对于B，，虽然函数为偶函数且在上单调递减，在上单调递增，但 ，与图像不吻合，排除B；对于D，因为，所以函数是偶函数，但，与图像不吻合，排除D；对于C，函数为偶函数，图像关于y轴对称，下面只分析y轴右侧部分．当时，，，令，求导，得．当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得最大值．又因为，，，所以，使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，与图像吻合.故选：C．【对点训练5】（2023·河北·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A选项，，A选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，有两个不等的实根，故有两个极值点，D选项错误．对于B选项，，；当时，，，此时，当时，，，此时，当时，，，此时，依次类推可知函数值有正有负； 显然不单调；因为当时，所以有多个零点；因为，所以，所以既不是奇函数也不是偶函数，以上均符合，故B正确.故选：B．【对点训练6】（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为（     ）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数图象关于轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足，为奇函数，排除D；又选项C中函数满足，与图象不符，排除C；选项A中函数满足，与图象不符，排除A，只有B可选．故选：B．【解题方法总结】1、从定义域值域判断图像位置；2、从奇偶性判断对称性；3、从周期性判断循环往复；4、从单调性判断变化趋势；5、从特征点排除错误选项．题型三：表达式含参数的图象问题 【例3】（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.故选：C.【对点训练7】（2023·山东滨州·统考二模）函数的图象如图所示，则（    ）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】A【解析】由图象观察可得函数图象关于轴对称，即函数为偶函数， 所以得：，故C错误；由图象可知，故D错误；因为定义域不连续，所以有两个根可得，即异号，，即B错误，A正确.故选：A【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，所以，排除A，C；又因为函数过点,所以，解得．故选：D【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）若函数的部分图象如图所示，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图象知，的两根为2，4，且过点， 所以，解得，所以，所以，故选：A【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【对点训练11】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数在,上的大致图像可能为（　　） A．B．C．D．【答案】ABC【解析】①当时，，，函数为奇函数，由时，时等性质可知A选项符合题意；②当时，令，作出两函数的大致图象，由图象可知在内必有一交点，记横坐标为，此时，故排除D选项；当时，，时，，若在内无交点，则在恒成立，则图象如C选项所示，故C选项符合题意；若在内有两交点，同理得B选项符合题意.故选：ABC. 【解题方法总结】根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用．题型四：函数图象应用题【例4】（2023·北京·高三专题练习）高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.【对点训练12】（2023·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”；当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，结合选项C满足“速度差函数”解析式，故选：C.【对点训练13】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度与时间的函数图像大致是（    ） A．B．C．D．【答案】C【解析】由图可知该青花瓷上､下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C选项符合.故选：C【对点训练14】（2023·全国·高三专题练习）列车从地出发直达外的地，途中要经过离地的地，假设列车匀速前进，后从地到达地，则列车与地距离（单位：与行驶时间（单位：）的函数图象为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知列车的运行速度为，列车到达地的时间为，故当时，. 故选：C.【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（　　）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．在区间（0，）上，P在边AC上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；在区间（，π）上，P在边BC上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，又由当x1+x2＝π时，有f（x1）＝﹣f（x2），f（x）的图象关于点（，0）对称，排除D，故选：A【对点训练16】（2023·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数图象大致是（    ）A．B． C．D．【答案】A【解析】设圆锥PO底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO交于点，水面半径，此时水面高度，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，，即，则注入水的体积为，令水匀速注入的速度为，则注水时间为t时的水的体积为，于是得，而都是常数，即是常数，所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是，，，函数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.故选：A【解题方法总结】（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．题型五：函数图象的变换 【例5】（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，当时，，，故A正确，C错误.故选：A.【对点训练17】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】 ①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半故选：C.【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列图象错误的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，表示一条线段，且线段经过和两点．当时，，表示一段曲线．函数的图象如图所示． 的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；由于的值域为，故，故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确．故选：D．【对点训练19】（2023·全国·高三专题练习）函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为(　　)A．B．C．D．【答案】C【解析】先作出函数的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解.如图所示： 故答案为C【解题方法总结】熟悉函数三种变换：（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.题型六：函数图像的综合应用【例6】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数__________.【答案】【解析】  如图，显然.当时，由单调性得，方程有且仅有一解.因此当时，方程也恰有一解.即为函数的切线，， 令得，故当时，，得，即从而.故答案为：【对点训练20】（2023·天津和平·统考三模）已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为___________.【答案】【解析】，当时，，此时无解，不满足题意；当时，设，则与的图象大致如下，则对应的2个根为，此时方程均无解，即方程无解，不满足题意；当时，设，则与的图象大致如下，则则对应的2个根为，若方程恰有三个不相等的实数解， 则与函数的图象共有3个不同的交点，①当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，所以与函数的图象只有1个交点，则，所以，解得；②当时，与函数的图象共有2个交点，所以与函数的图象只有1个交点，则，与矛盾，不合题意；③当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，所以与函数的图象只有1个交点，则，所以，解得；综上，的取值集合为，故答案为:.【对点训练21】（2023·河南·校联考模拟预测）定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是__________．【答案】【解析】因为当时，，所以， 因为，当时，即时，由，所以，同理可得依此类推，作出函数的图象，如图所示：由图象知：当时，令，则，对任意，都有，则故的取值范围为，故答案为：【对点训练22】（2023·四川绵阳·统考二模）若函数，，则函数的零点个数为______．【答案】5【解析】令，则有，所以，当时，则有，即,在同一坐标系中作出与的图象，如图所示： 由图可得此时两函数的图象有两个交点，即当时，有2个零点；当时，则有，即，在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：由图可得此时两函数的图象有两个交点，即当时，有2个零点；当时，，此时，有1个零点为，综上所述，共有5个零点.故答案为：5【解题方法总结】1、利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数．2、利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案3、利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想． 1．（2022·天津·统考高考真题）函数的图像为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域为，且，函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误；当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D.2．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.3．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（    ）A．B．C．D．【答案】A 【解析】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.