2024年高考数学一轮复习： 函数与基本初等函数 第04讲 指数与指数函数（讲义）（解析版）

第04讲指数与指数函数目录考点要求考题统计考情分析（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．2022年甲卷第12题，5分2020年新高考II卷第11题，5分从近五年的高考情况来看,指数运算与指数函数是高考的一个重点也是一个基本点,常与二次函数、幂函数、对数函数、三角函数综合,考查数值大小的比较和函数方程问题. 1、指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．(2)根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．2、指数函数图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数【解题方法总结】1、指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．(3)指数函数与的图象关于轴对称．【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式【例1】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故选：B.【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（     ）A．设则B．若，则C．若，则D．【答案】B【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；对于B，，故，选项B正确；对于C，，，因为，所以，选项C错误；对于D，，选项D错误.故选：B． 【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故选：B【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（    ）A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】令，则方程可化为，甲写错了常数b，所以和是方程的两根，所以，乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，则可得方程，解得，所以原方程的根是或故选：D【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】方程有解，有解，令，则可化为有正根，则在有解，又当时，所以，故选：． 【对点训练5】（2023·上海青浦·统考一模）不等式的解集为______．【答案】【解析】函数在R上单调递增，则，即，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.【答案】【解析】由，可得.令，因为均为上单调递减函数则在上单调逆减，且，，故不等式的解集为.故答案为：.【解题总结】利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质【例2】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（    ）A．B．C．D． 【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.当时，，图象A满足；当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；图象C过点，此时，故C不成立.故选：ABD【对点训练7】（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为R，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】∵的定义域为R，∴0对任意x∈R恒成立，即恒成立，即对任意恒成立，，则．故答案为．【对点训练8】（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．【答案】【解析】令，∵，∴，∴，又关于对称，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，且，时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，.故答案为：.【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在 内的最大值是最小值的两倍，且，则______【答案】或【解析】当时，函数在内单调递增，此时函数的最大值为，最小值为，由题意得，解得，则，此时；当时，函数在内单调递减，此时函数的最大值为，最小值为，由题意得，解得，则，此时．故答案为：或.【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）函数是指数函数，则（    ）A．或B．C．D．且【答案】C【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.故选：C【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　）A．B．C．D． 【答案】C【解析】若，为增函数，且，与图象不符，若，为减函数，且，与图象相符，所以，当时，，结合图象可知，此时，所，则，所以，故选:C.【对点训练12】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（    ）A．8B．24C．4D．6【答案】C【解析】因为函数图象恒过定点又点A的坐标满足关于，的方程，所以，即所以，当且仅当即时取等号；所以的最小值为4．故选：C．【对点训练13】（多选题）（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（    ）A．当，则这期间人口数呈下降趋势B．当，则这期间人口数呈摆动变化C．当时，的最小值为3D．当时，的最小值为3【答案】AC 【解析】，由指数函数的性质可知：是关于n的单调递减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；，所以，所以，，所以的最小值为3，故C正确；，所以，所以，，所以的最小值为2，故D不正确；故选：AC.【对点训练14】（多选题）（2023·山东聊城·统考二模）已知函数，则（    ）A．函数是增函数B．曲线关于对称C．函数的值域为D．曲线有且仅有两条斜率为的切线【答案】AB【解析】根据题意可得，易知是减函数，所以是增函数，即A正确；由题意可得，所以，即对于任意，满足，所以关于对称，即B正确；由指数函数值域可得，所以，即，所以函数的值域为，所以C错误；易知，令，整理可得，令，即，易知，又因为，即， 所以，即，因此；即关于的一元二次方程无实数根；所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，即D错误；故选：AB【解题总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.【答案】．【解析】令因为在区间上是增函数，所以因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为．故答案为：.【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.【答案】【解析】由函数，均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数，且满足，所以函数为奇函数，因为，即，可得恒成立，即在上恒成立，则满足，即，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.【对点训练16】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】，，【解析】设，，则，对于，恒成立，即，对于，恒成立，∴，即，解得或，即或，解得或，综上，的取值范围为，，．故答案为：，，﹒【对点训练17】（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】令，∵，∴，∵恒成立，∴恒成立，∵，当且仅当时，即时，表达式取得最小值，∴，故答案为．【对点训练18】（2023·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试）已知函数是定义域为的奇函数.(1)求实数的值，并证明在上单调递增；(2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）因为函数是定义域为的奇函数，则，解得，此时，对任意的，，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数，合乎题意，任取、且，则，所以，，则，所以，函数在上单调递增.（2）由（1）可知，函数在上为增函数，对于任意的、，都有，则，，因为，则.当时，则有，解得；当时，则有，此时.综上所述，实数的取值范围是.【解题总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题【例4】（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，，，故， 故函数的图象关于中心对称，当时，，，单调递减，故在上单调递减，且，函数的图象关于中心对称，在上单调递减，，而，故或或，解得或，故所求不等式的解集为，故选：B.【对点训练19】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为__________.【答案】【解析】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意，所以，，由可得，因为函数的定义域为，所以，，解得，所以，，则，由可得，解得.因此，不等式的解集为.故答案为：.【对点训练20】（2023·河南安阳·统考三模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则__________.【答案】/1.5【解析】依题意函数是一个奇函数，又，所以，所以定义域为，因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得.又，所以， 所以，即，所以，所以.故答案为：.【对点训练21】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是______________．【答案】【解析】由函数性质知，，∴，即，解得，∴，故答案为：.【对点训练22】（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知实数，满足，，则__________．【答案】1【解析】因为，化简得．所以，又，构造函数，因为函数，在上都为增函数，所以函数在上为单调递增函数，由，∴，解得，，∴．故答案为：.【对点训练23】（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）点在函数 的图象上，当，则可能等于（    ）A．-1B．C．D．0【答案】BC【解析】由表示与点所成直线的斜率，又是在部分图象上的动点，图象如下：如上图，，则，只有B、C满足.故选：BC1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以. 故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．3．（2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，所以在上递减，是偶函数，所以在上递增.注意到，所以B选项符合. 故选：B