2025年高考数学一轮讲义第3章 第2课时　导数与函数的单调性

第2课时　导数与函数的单调性[考试要求]　1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上________f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上________f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是________2．利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的______；第2步，求出导数f′(x)的____；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．[常用结论]1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．3．f′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，举例：f(x)＝x3在R上单调递增，但f′(0)＝0.一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)(2)若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝05/5 的根有有限个，则f(x)在(a，b)上单调递减．(　　)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　　)(4)函数f(x)＝x－sinx在R上单调递增．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编)f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)A　　　　B　　　　C　　　　D2．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是(　　)A．先增后减　　　　B．先减后增C．单调递增　D．单调递减3．(人教A版选择性必修第二册P97习题5.3T1改编)函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．4．(人教A版选择性必修第二册P87例3改编)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的最大值是________．考点一　不含参数的函数的单调性[典例1]　(1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)A．f(x)＝sin2x　　　B．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－x　D．f(x)＝－x＋lnx(2)讨论函数f(x)＝sinx－12x2－xcosx在-π2，π2上的单调性．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5 　利用导函数求函数单调区间的注意点(1)必须先求函数定义域，单调区间是定义域的子集．(2)正确求导函数．(3)当f′(x)＝0无解时，可根据f′(x)的结构特征确定f′(x)的符号．(4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．[跟进训练]1．(1)函数f(x)＝x22x的单调递减区间为________；(2)函数f(x)＝lnx+1ex的单调递增区间为________．考点二　含参数的函数的单调性[典例2]　已知函数f(x)＝12ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[拓展变式]　若将本例中参数a的取值范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个：分类讨论点1(根的有无讨论)：求导后，考虑f′(x)＝0是否有实数根，从而引起分类讨论；分类讨论点2(根在不在定义域内讨论)：求导后，f′(x)＝0有实数根，但不清楚f′(x)＝0的实数根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；分类讨论点3(根的大小的讨论)：求导后，f′(x)＝0有实数根，f′(x)＝0的实数根也落在定义域内，但不清楚这些实数根的大小关系，从而引起分类讨论．(2)求出f′(x)后，先观察f′(x)的解析式的特征(5/5 当参数取某些特殊值或在某一范围内时，f′(x)≥0(≤0)恒成立)，再解不等式．[跟进训练]2．讨论函数f(x)＝1x－x＋alnx的单调性．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　函数单调性的应用　比较大小或解不等式[典例3]　(1)已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　)A．c<b<a　B．b<c<aC．a<c<b　D．a<b<c(2)(2024·重庆模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)>0，且f(1)＝2，则f(ex)>2ex的解集为(　　)A．(0，＋∞)　B．(ln2，＋∞)C．(1，＋∞)　D．(0，1)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　灵活构造函数，利用函数单调性比较大小或解抽象不等式．　求参数的取值范围[典例4]　已知函数g(x)＝2x＋lnx－ax.(1)若函数g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[拓展变式]　(1)(变条件)若函数g(x)在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围；5/5 (2)(变条件)若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)在区间(a，b)上单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．但有时等号取不到或f′(x)＝0恒成立．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．[跟进训练]3．(1)(2023·山东济宁一模)若函数f(x)＝loga(ax－x3)(a>0且a≠1)在区间(0，1)内单调递增，则a的取值范围是(　　)A．[3，＋∞)　　　B．(1，3]C．0，13　D．13，1(2)设函数f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f′(x)<g′(x)，则当x∈(a，b)时(　　)A．f(x)<g(x)B．f(x)>g(x)C．f(x)＋g(a)<g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)<g(x)＋f(b)5/5