2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章　§3.2　导数与函数的单调性

第三章一元函数的导数及其应用§3.2导数与函数的单调性 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上_________f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上_________f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是_________单调递增单调递减常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的；第2步，求出导数f′(x)的；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.定义域零点 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.()(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增.()(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数.()√√×√ 1.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是√ 由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增. 2.函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是A.(0,1)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－1,1)√令f′(x)＝0，得x＝1(负值舍去)，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增. 探究核心题型第二部分 题型一不含参函数的单调性例1(1)函数f(x)＝xlnx－3x＋2的单调递减区间为________.(0，e2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx－2，当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2). (0,1) f(x)的定义域为(0，＋∞)，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0， 当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1). 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.思维升华 令g(x)＝x－ex，则g′(x)＝1－ex，可得g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)＝－1<0.所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 例2已知函数f(x)＝(2－a)x－lnx－1，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；题型二含参数的函数的单调性当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞). (2)若a<0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间. g(x)＝ax2＋(2－a)x－lnx－1(a<0)，其定义域为(0，＋∞)， ∴g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当a＝－2时，g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点. 跟踪训练2已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性. g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2，①若a>ln2，则当x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，当x∈(ln2，a)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减.②若a＝ln2，则g′(x)≥0恒成立，∴g(x)在R上单调递增， ③若a<ln2，则当x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)时，g′(x)>0，当x∈(a，ln2)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减.综上，当a>ln2时，g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减；当a＝ln2时，g(x)在R上单调递增；当a<ln2时，g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减. 命题点1比较大小或解不等式例3(1)(多选)下列不等式成立的是题型三函数单调性的应用√√ 所以当0<x<e时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减. 因为e<4<5，所以f(4)>f(5)，即5ln4>4ln5，故选项C不正确；因为e<π，所以f(e)>f(π)，即π>elnπ，故选项D正确. √ f′(x)＝ex－e－x－sinx－x，令g(x)＝ex－e－x－sinx－x，当且仅当x＝0时等号成立，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(0)＝0，∴当x∈[0，＋∞)时，g(x)≥g(0)＝0，∴f′(x)≥0， ∴当x∈(－∞，0)时，g(x)<g(0)＝0，∴f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴关于x的不等式f(2x－1)<f(3＋x)可转化为|3＋x|>|2x－1|， 命题点2根据函数的单调性求参数例4已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x(a≠0).(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围； 因为f(x)在[1,4]上单调递减， (2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，所以a>－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞). 由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立.(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集. 跟踪训练3(1)已知函数f(x)＝－ex＋2x－x3，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则实数a的取值范围是___________. 所以f′(x)≤0，所以函数f(x)在R上单调递减，又f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数，所以f(3a2)＋f(2a－1)≥0⇒f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)， (2)已知函数f(x)＝－x2－3x＋4lnx在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是______.[0,1)当f′(x)＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1，∵f(x)在(t，t＋2)上不单调，且(t，t＋2)⊆(0，＋∞)， 课时精练第三部分 基础保分练12345678910111213141.函数f(x)＝xlnx＋1的单调递减区间是√ 1234567891011121314f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx， 2.已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)函数的图象可能是√1234567891011121314 1234567891011121314根据导函数的图象可得，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(0,2)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以只有D选项符合. 1234567891011121314√ 当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，1234567891011121314 4.已知a∈R，则“a≤2”是“f(x)＝lnx＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1234567891011121314√ 因为f(x)＝lnx＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增，因此，“a≤2”是“f(x)＝lnx＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件.1234567891011121314 1234567891011121314√√ 令f(x)＝ex－ln(x＋1)且x∈(0,1)，故f(x)在区间(0,1)上单调递增，因为0<x1<x2<1，所以f(x1)<f(x2)，即－ln(x1＋1)<－ln(x2＋1)，1234567891011121314 故f(x)在区间(0,1)上单调递减，因为0<x1<x2<1，所以f(x1)>f(x2)，即>，故x2>x1，所以C正确，D错误.1234567891011121314 12345678910111213146.(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是A.f(x)＝exB.f(x)＝x2C.f(x)＝lnxD.f(x)＝sinx√√√ 依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数.对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；对于B，g(x)＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”；对于C，g(x)＝xlnx，g′(x)＝1＋lnx，x>0，1234567891011121314 故C中函数不是“F函数”；对于D，g(x)＝xsinx，g′(x)＝sinx＋xcosx，故D中函数不是“F函数”.1234567891011121314 7.函数f(x)＝e－xcosx(x∈(0，π))的单调递增区间为________.1234567891011121314 12345678910111213148.已知函数f(x)＝－2x2＋lnx(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上不单调，则实数a的取值范围是________. 1234567891011121314 1234567891011121314 12345678910111213149.已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；因为a＝1，所以f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1，所以f′(1)＝e－1，f(1)＝e－1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x. 1234567891011121314(2)试讨论函数f(x)的单调性. 1234567891011121314因为f(x)＝aex－x，a∈R，x∈R，所以f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)＝aex－1<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝－lna，当x<－lna时，f′(x)<0，当x>－lna时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增，综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增. 10.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex，x∈R.(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；1234567891011121314当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝－(x2－2)ex， 1234567891011121314(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a的取值范围. f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，若f(x)在(－1,1)上单调递增，即当－1<x<1时，f′(x)≥0，即－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)恒成立，1234567891011121314 1234567891011121314 11.(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则下列说法正确的是A.f(ln2)＝B.f(x)是奇函数C.f(x)在(0，＋∞)上单调递增D.f(x)的最小值为ln2综合提升练1234567891011121314√√√ 1234567891011121314f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(ex＋e－x)定义域为R，其中f(－x)＝ln(e－x＋ex)＝f(x)，故f(x)是偶函数，B错误； 1234567891011121314根据f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)是偶函数，可得f(x)在(－∞，0)上单调递减，故f(x)的最小值为f(0)＝ln2，D正确. 123456789101112131412.已知函数f(x)＝ex－e－x＋＋1，实数a，b满足不等式f(3a＋b)＋f(a－1)<2，则下列不等式成立的是A.2a＋b<－1B.2a＋b>－1C.4a＋b<1D.4a＋b>1√ f(3a＋b)＋f(a－1)<2，即g(3a＋b)＋g(a－1)<0，∴g(x)是增函数，∵g(3a＋b)＋g(a－1)<0，∴g(3a＋b)<－g(a－1)＝g(1－a)，则3a＋b<1－a，即4a＋b<1.1234567891011121314 拓展冲刺练1234567891011121314√√ 设y＝x－1－lnx(x>1)，∴y＝x－1－lnx在(1，＋∞)上单调递增，∴x－1－lnx>0，∴lnx<x－1，x∈(1，＋∞)，∴0<lnx<x－1，1234567891011121314 ∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＝(a2－1)ex－1－x≥0对∀x∈(1，＋∞)恒成立，当x>1时，g′(x)<0，故g(x)<g(1)＝1，1234567891011121314 1234567891011121314∴a2－1≥1， 123456789101112131414.(2023·蚌埠模拟)若x1·＝x2·log2x2＝2024，则x1x2的值为________.2024因为x1·＝x2·log2x2＝2024，所以log2＝x2·log2x2＝2024，则>1，x1>0，x2>1，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以＝x2，所以x1x2＝x1·＝2024.