第三章　§3.2　导数与函数的单调性

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§3.2　导数与函数的单调性考试要求　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上单调递增f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　)(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　√　)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　×　)(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数．(　√　)教材改编题1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期答案　C解析　由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增．2．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是(　　)A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1,1)答案　A解析　∵f′(x)＝2x－＝(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝1(负值舍去)，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．3．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为________________．(用“<”连接)答案　f <f(1)<f 解析　因为f(x)＝xsinx，当x∈时，f′(x)＝sinx＋xcosx>0，所以函数f(x)在上单调递增，又因为0<<1<<，所以f <f(1)<f .题型一　不含参函数的单调性例1　(1)函数f(x)＝xlnx－3x＋2的单调递减区间为________．答案　(0，e2)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx－2，当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)．(2)若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为________．答案　(0,1)解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，令φ(x)＝－lnx－1(x>0)，φ′(x)＝－－<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．思维升华　确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．跟踪训练1　已知函数f(x)＝x－lnx－.判断函数f(x)的单调性．解　因为f(x)＝x－lnx－，所以f′(x)＝1－－＝(x>0)．令g(x)＝x－ex，则g′(x)＝1－ex，可得g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)＝－1<0.所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．题型二　含参数的函数的单调性成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期例2　已知函数f(x)＝(2－a)x－lnx－1，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；(2)若a<0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间．解　(1)当a＝1时，f(x)＝x－lnx－1，则f′(x)＝1－＝(x>0)，当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．(2)g(x)＝ax2＋(2－a)x－lnx－1(a<0)，其定义域为(0，＋∞)，∴g′(x)＝2ax＋2－a－＝＝(a<0)，令g′(x)＝0，可得x1＝，x2＝－>0，①若－>，即－2<a<0，当0<x<或x>－时，g′(x)<0；当<x<－时，g′(x)>0，∴g(x)的单调递减区间为，，单调递增区间为；②若－＝，即a＝－2，则g′(x)≤0，∴g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；③若0<－<，即a<－2，当0<x<－或x>时，g′(x)<0；当－<x<时，g′(x)>0，∴g(x)的单调递减区间为，，单调递增区间为.综上，当－2<a<0时，g(x)的单调递减区间为，，单调递增区间为；当a＝－2时，g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当a<－2时，g(x)的单调递减区间为，，单调递增区间为.思维升华　(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练2　已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性．解　g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2，①若a>ln2，则当x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，当x∈(ln2，a)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减．②若a＝ln2，则g′(x)≥0恒成立，∴g(x)在R上单调递增，③若a<ln2，则当x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)时，g′(x)>0，当x∈(a，ln2)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减．综上，当a>ln2时，g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减；当a＝ln2时，g(x)在R上单调递增；当a<ln2时，g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减．题型三　函数单调性的应用命题点1　比较大小或解不等式例3　(1)(多选)下列不等式成立的是(　　)A．2ln <ln2B.ln <ln C．5ln4<4ln5D．π>elnπ答案　AD解析　设f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，所以当0<x<e时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．因为<2<e，所以f <f(2)，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以C正确，D错误．6．(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　)A．f(x)＝exB．f(x)＝x2C．f(x)＝lnxD．f(x)＝sinx答案　ACD解析　依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数．对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；对于B，g(x)＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”；对于C，g(x)＝xlnx，g′(x)＝1＋lnx，x>0，当x∈时，g′(x)<0，∴g(x)在上单调递减，故C中函数不是“F函数”；对于D，g(x)＝xsinx，g′(x)＝sinx＋xcosx，当x∈时，g′(x)<0，∴g(x)在上单调递减，故D中函数不是“F函数”．7．函数f(x)＝e－xcosx(x∈(0，π))的单调递增区间为________．答案　解析　f′(x)＝－e－xcosx－e－xsinx＝－e－x(cosx＋sinx)＝－e－xsin，当x∈时，e－x>0，sin>0，则f′(x)<0；当x∈时，e－x>0，sin<0，则f′(x)>0，∴f(x)在(0，π)上的单调递增区间为.8．已知函数f(x)＝－2x2＋lnx(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上不单调，则实数a成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期的取值范围是________．答案　<a<1解析　f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3，又a>0，所以0<a≤或a≥1.因为f(x)在[1,2]上不单调，故<a<1.9．已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)试讨论函数f(x)的单调性．解　(1)因为a＝1，所以f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1，所以f′(1)＝e－1，f(1)＝e－1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x.(2)因为f(x)＝aex－x，a∈R，x∈R，所以f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)＝aex－1<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝－lna，当x<－lna时，f′(x)<0，当x>－lna时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增，综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期10．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex，x∈R.(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a的取值范围．解　(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝－(x2－2)ex，令f′(x)>0，即x2－2<0，解得－<x<，∴f(x)的单调递增区间是(－，)．(2)f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，若f(x)在(－1,1)上单调递增，即当－1<x<1时，f′(x)≥0，即－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)恒成立，即a≥x＋1－对x∈(－1,1)恒成立，令y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，∴y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，∴y<1＋1－＝，∴a≥，∴a的取值范围是.11．(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则下列说法正确的是(　　)A．f(ln2)＝ln B．f(x)是奇函数C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增D．f(x)的最小值为ln2答案　ACD解析　f(ln2)＝ln(e2ln2＋1)－ln2＝ln5－ln2＝ln ，A正确；f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(ex＋e－x)定义域为R，其中f(－x)＝ln(e－x＋ex)＝f(x)，故f(x)是偶函数，B错误；f′(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；根据f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)是偶函数，可得f(x)在(－∞，0)上单调递减，故f(x成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期)的最小值为f(0)＝ln2，D正确．12．已知函数f(x)＝ex－e－x＋sin x＋1，实数a，b满足不等式f(3a＋b)＋f(a－1)<2，则下列不等式成立的是(　　)A．2a＋b<－1B．2a＋b>－1C．4a＋b<1D．4a＋b>1答案　C解析　设g(x)＝ex－e－x＋sin x，则g(x)＝f(x)－1，f(3a＋b)＋f(a－1)<2，即g(3a＋b)＋g(a－1)<0，∵g(－x)＝e－x－ex－sin x＝－g(x)，∴函数g(x)是奇函数，∵g′(x)＝ex＋e－x＋cos x≥2＋cos x＝2＋cos x>0，∴g(x)是增函数，∵g(3a＋b)＋g(a－1)<0，∴g(3a＋b)<－g(a－1)＝g(1－a)，则3a＋b<1－a，即4a＋b<1.13．(多选)(2023·杭州模拟)已知f(x)＝(a2－1)ex－1－x2，若不等式f >f 在(1，＋∞)上恒成立，则a的值可以为(　　)A．－B．－1C．1D.答案　AD解析　设y＝x－1－lnx(x>1)，则y′＝1－>0，∴y＝x－1－lnx在(1，＋∞)上单调递增，∴x－1－lnx>0，∴lnx<x－1，x∈(1，＋∞)，∴0<lnx<x－1，∴>>0.又f >f 在(1，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴f′(x)＝(a2－1)ex－1－x≥0对∀x∈(1，＋∞)恒成立，即a2－1≥在x∈(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝，x∈(1，＋∞)，g′(x)＝，当x>1时，g′(x)<0，故g(x)<g(1)＝1，∴a2－1≥1，解得a≥或a≤－，∴a的值可以为－，.14．(2023·蚌埠模拟)若x1·＝x2·log2x2＝2024，则x1x2的值为________．答案　2024解析　因为x1·＝x2·log2x2＝2024，所以log2＝x2·log2x2＝2024，则>1，x1>0，x2>1，设f(x)＝xlog2x(x>1)，则f′(x)＝log2x＋>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以＝x2，所以x1x2＝x1·＝2024.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期