数学（心得）之浅析应用二阶导数求函数的单调性

数学论文之浅析应用二阶导数求函数的单调性 <br />  浅析应用二阶导数求函数的单调性                                               ◎蔡圣兵  徐春桃 <br />●定义：函数f（x）的（一阶）导函数f′（x）在x的导数，称为函数f（x）在x的二阶导数，表示为f″（x），即f″（x）=limΔx→0f′(x+Δx)－f′(x)Δx． <br />笔者对应用二阶导数来研究函数的单调性作了小许尝试，下面就以部分地区的调研试题为例作说明： <br />例1：（2007年东北三校）若函数f（x）=sinxx，且0＜x1＜x2＜1，设a=sinx1x1，b=sinx2x2，则a、b的大小关系是（） <br />A．a＞bB．a＜b <br />C．a=bD．a、b的大小不能确定 <br />【解析】此题很容易想到去研究函数y=sinxx在x∈（0，1）的单调性．由f（x）=sinxx得f′（x）=xcosx－sinxx2，再记g（x）=xcosx－sinx，∴g′（x）=－xsinx+cosx－cosx=－xsinx， 0＜x＜1，∴g′（x）＜0，即函数g（x）在（0，1）上是减函数，∴g（x）＜g（0）=0，因此f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，1）是减函数，∴f（x1）＞f（x2），即a＞b，故选A． <br />【点评】本题用二阶导数的思想研究y=g（x）的单调性，从而达到求y=f（x）单调性的目的．当然，本题也可以如下处理：由f′（x）=xcosx－sinxx2=cosx(x－tanx)x2，又x∈（0，1）（0，π2），我们易证x＜tanx，∴f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）单调递减，∴f（x1）＞f（x2），即a＞b，因此选A． <br />例2：（2008黄冈模拟）已知函数f（x）=1+ln(x+1)x（x＞0）． <br />（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论； <br />（2）若当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立，求正整数k的最小值． <br />【解析】第（1）问可直接求导得f′（x）=－1x2［1x+1+ln（x+1）］，易知f′（x）＜0，故函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数． <br />第（2）问：当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立． <br />即h（x）=(x+1)［1+ln(x+1)］x＞k对任意x＞0恒成立． <br />也即h（x）（x＞0）的最小值大于k． <br />又h′（x）=x－1－ln(x+1)x2 <br />又记φ（x）=x－1－ln（x+1）（x＞0） <br />则φ′（x）=1x+1＞0 <br />∴φ（x）在（0，+∞）上连续递增． <br />又φ（2）=1－ln3＜0，φ（3）=2－2ln2＞0即φ（2）φ（3）＜0 <br />∴φ（x）=0存在唯一根x=m，且m∈（2，3） <br />即φ（m）=0，也即m－1－ln（m+1）=0 <br />∴x（0，m）m（m，+∞）φ（x）－0+h′（x）－0+h（x）↘极小值↗∴h（x）min=h（m）=(m+1)［1+ln(m+1)］m=（m+1）mm=m+1 <br />∴k＜m+1 <br />又m+1∈（3，4） <br />故正整数k的最大值为3． <br />【评注】此题也是通过研究φ（x）的单调性进而来确定f（x）的单调性．另外，我们也可以按以下思路处理：先取x=1，计算得k＜2（1+ln2）＜4，并由此猜想k的最大值为3，然后再进行论证（请同学们自己尝试）． <br />例3：（武汉市2009届高中毕业生二月调研考试）已知函数f（x）=sinx3cosx－x．（0＜x＜π2）． <br />（1）求f（x）的导数f′（x）； <br />（2）求证：不等式sin3x＞x3cosx在（0，π2］上恒成立； <br />（3）求g（x）=1sin2x－1x2（0＜x≤π2）的最大值． <br />【解析】（1）直接用公式求解得f′（x）=cos23x+13sin2xcos－43x－1. <br />（2）记G（x）=f′（x）=cos23x+13sin2xcos－43x－1，则 <br />G′（x）=23cos-13x(－sinx)+13［2sinx <br />cosxcos－43x+sin2x(－43)cos－73x(－sinx)］=49sin3xcos－73x＞0. <br />即G′（x）＞0在x∈（0，π2）恒成立． <br />∴G（x）在x∈（0，π2）为增函数． <br />∴G（x）＞G（0）=0，也即f′（x）＞0在x∈（0，π2）恒成立． <br />∴f（x）在x∈（0，π2）也为增函数． <br />∴f（x）＞f（0）=0，即sinx3cosx＞xsin3x＞x3cosx． <br />又当x=π2时，经计算sin3x＞x3cosx成立． <br />于是sin3x－x3cosx＞0在x∈（0，π2］上恒成立． <br />（3）由（2）知g′（x）=2(sin3x－x3cosx)x3sin3x＞0在x∈（0，π2］恒成立． <br />∴g（x）在（0，π2］上单调递增． <br />∴g（x）≤g（π2）=1－4π2． <br />∴g（x）的最大值为1－4π2． <br />【点评】此题是2009年武汉市二月调考的压轴题，从学生的答卷来看，第（2）问得分不够理想，假若同学们熟知二阶导数的思想，那问题就可迎刃而解了． <br />导数的应用已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工...