2025年高考数学一轮讲义第2章 第7课时　指数与指数函数

第7课时　指数与指数函数[考试要求]　1．掌握根式与分数指数幂的互化，掌握指数幂的运算性质.2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．1．根式(1)如果xn＝a，那么__叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)式子na叫做____，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(na)n＝__．当n为奇数时，nan＝__；当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，-a，a<0．2．分数指数幂正数的正分数指数幂，amn＝__(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂，a-mn＝1amn＝__(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于__，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝________；(ar)s＝______；(ab)r＝________(a>0，b>0，r，s∈Q)．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中______是自变量，定义域是R，__是底数．(2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．(3)指数函数的图象与性质项目a>10<a<16/6 图象定义域R值域____________性质过定点__________，即x＝0时，y＝__当x>0时，______；当x<0时，__________当x<0时，______；当x>0时，__________在(－∞，＋∞)上是__函数在(－∞，＋∞)上是__函数[常用结论]指数函数图象的特点(1)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，-1，1a，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．(2)函数y＝ax与y＝1ax(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(3)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)nan＝(na)n＝a．(　　)(2)函数y＝a－x是R上的增函数．(　　)(3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P109习题4.1T1改编)化简3-5234的结果为(　　)A．5　　B．5　C．－5　　D．－52．(人教A版必修第一册P114例1改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点2，13，则f(－1)＝(　　)A．1　B．26/6 C．3　D．33．(多选)(人教A版必修第一册P117例3改编)下列各式比较大小正确的是(　　)A．1.72.5＞1.73　B．1223＞2-43C．1.70.3＞0.93.1　D．2334＜34234．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f(x)＝a12x+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f(－2)＝________．考点一　指数幂的运算[典例1]　(1)(多选)已知a＋a-1＝3，则下列正确的是(　　)A．a2＋a-2＝7　　　　B．a3＋a-3＝18C．a12+a-12＝±5D．aa+1aa＝25(2)计算：14-12·4ab-130.1-1·a3·b-312＝________(a>0，b>0)．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　指数幂运算的一般原则(1)将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一．[跟进训练]1．(1)已知x<0，y>0，化简49x8y4得(　　)A．－3x2y　B．3x2yC．－3x2y　D．3x2y(2)计算：278-23＋0.002-12－10(5－2)-1＋π0＝________．考点二　指数函数的图象及应用6/6 [典例2]　(1)(多选)已知实数a，b满足等式2022a＝2023b，则下列式子可以成立的是(　　)A．a＝b＝0　B．a<b<0C．0<a<b　D．0<b<a(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)掌握函数y＝f(|x|)，y＝f(x)，y＝|f(x)|的图象之间的变换与联系．(3)定点与渐近线是作图的关键．[跟进训练]2．(1)(2023·枣庄二模)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则y＝ax2＋x图象顶点的横坐标的取值范围是(　　)A．-∞，-12　B．-12，0C．0，12　D．-12，+∞(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________．考点三　指数函数的性质及应用　比较指数式的大小[典例3]　(1)(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)A．c＞a＞b　B．c＞b＞aC．a＞b＞c　D．b＞a＞c6/6 (2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)A．x＋y≥0　B．x＋y≤0C．x－y≤0　D．x－y≥0[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解简单的指数方程或不等式[典例4]　(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a-x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．(2)设函数f(x)＝12x-7，x<0，x，x≥0，若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　指数函数性质的综合应用[典例5]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]　B．[－2，0)C．(0，2]　D．[2，＋∞)(2)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝xexeax-1是偶函数，则a＝(　　)A．－2　　B．－1C．1　　D．2(3)不等式4x－2x+1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)6/6 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．[跟进训练]3．(1)(2024·江苏沭阳模拟)设12＜12b＜12a＜1，那么(　　)A．aa＜ab＜ba　B．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜ba　D．ab＜ba＜aa(2)若函数f(x)＝13ax2+2x+3的值域是0，19，则f(x)的单调递增区间是________．6/6