2024年高考数学一轮复习讲义（学生版）第2章　§2.7　指数与指数函数

§2.7　指数与指数函数考试要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子叫做，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)()n＝.当n为奇数时，＝，当n为偶数时，＝|a|＝2．分数指数幂正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝；(ar)s＝；(ab)r＝(a>0，b>0，r，s∈Q)．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域值域性质过定点，即x＝0时，y＝1当x>0时，；当x<0时，；5 当x<0时，当x>0时，在(－∞，＋∞)上是_______在(－∞，＋∞)上是_______常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝－4.(　　)(2)2a·2b＝2ab.(　　)(3)函数y＝x－1的值域是(0，＋∞)．(　　)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　)教材改编题1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　)A．不确定B．0C．1D．22．计算：＝________.3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.题型一　指数幂的运算例1　计算：(1)(－1.8)0＋－2·－＋；(2)(a>0，b>0)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________5 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1　计算：(1)；(2).________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二　指数函数的图象及应用例2　(1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是(　　)A．a<bB．若a<0，则b<a<0C．|a|<|b|D．若0<a<log32，则ab<ba(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2　(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)A．a>1B．0<a<1C．b>05 D．b<0题型三　指数函数的性质及应用命题点1　比较指数式大小例3　设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则(　　)A．b<c<aB．c<a<bC．a<b<cD．b<a<c听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2　解简单的指数方程或不等式例4　(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是(　　)A．[2,4]B．(－∞，0)C．(0,1)∪[2,4]D．(－∞，0]∪[1,2]听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3　指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．(1)求a的值；(2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3　(1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝，下列说法正确的有(　　)A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的值域为(－1,1)D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<05 (2)已知函数f(x)＝，若f(x)有最大值3，则a的值为________．5