2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.7　指数与指数函数

§2.7　指数与指数函数考试要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)()n＝a.当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝2．分数指数幂正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝113 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝－4.(　×　)(2)2a·2b＝2ab.(　×　)(3)函数y＝x－1的值域是(0，＋∞)．(　×　)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　)教材改编题1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　)A．不确定B．0C．1D．2答案　C解析　由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.2．计算：＝________.答案　1解析　原式＝＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.答案　2或解析　若a>1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝.13 题型一　指数幂的运算例1　计算：(1)(－1.8)0＋－2·－＋；(2)(a>0，b>0)．解　(1)(－1.8)0＋－2·－＋＝1＋＝1＋2·2－10＋33＝1＋1－10＋27＝19.(2)＝＝2××8＝.思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1　计算：(1)；(2).解　(1)因为有意义，所以a>0，13 所以原式＝＝÷＝a÷a＝1.(2)原式＝＝10－1＋8＋23·32＝89.题型二　指数函数的图象及应用例2　(1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是(　　)A．a<bB．若a<0，则b<a<0C．|a|<|b|D．若0<a<log32，则ab<ba答案　BCD解析　如图，由指数函数的图象可知，0<a<b或者b<a<0，所以A错误，B，C正确；D选项中，0<a<log32⇒0<a<b<1，则有ab<aa<ba，所以D正确．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案　(0,2)解析　在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴b的取值范围是(0,2)．思维升华　对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2　(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)13 A．a>1B．0<a<1C．b>0D．b<0答案　BD解析　由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，∴0<a<1，故B正确；分析可知，函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象向左平移所得，如图，∴－b>0，∴b<0，故D正确．题型三　指数函数的性质及应用命题点1　比较指数式大小例3　设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则(　　)A．b<c<aB．c<a<bC．a<b<cD．b<a<c答案　D解析　b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b<a<c.命题点2　解简单的指数方程或不等式例4　(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是(　　)A．[2,4]B．(－∞，0)C．(0,1)∪[2,4]D．(－∞，0]∪[1,2]答案　D解析　∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.13 命题点3　指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．(1)求a的值；(2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．解　(1)f(x)＝×2x＋，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以×＋2x＝－，所以＝0，即＋1＝0，解得a＝－1.(2)因为f(x)＝－2x，x∈[1,2]，所以－22x≥m，所以m≥＋2x，x∈[1,2]，令t＝2x，t∈[2,4]，由于y＝t＋在[2,4]上单调递增，所以m≥4＋＝.思维升华　(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3　(1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝，下列说法正确的有(　　)A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的值域为(－1,1)D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<013 答案　AC解析　对于A中，由f(－x)＝＝－＝－f(x)，可得函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；对于C中，设y＝，可得3x＝，所以>0，即<0，解得－1<y<1，即函数f(x)的值域为(－1,1)，所以C正确；对于D中，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0，可得函数f(x)为减函数，而f(x)＝＝1－为增函数，所以D错误．(2)已知函数f(x)＝，若f(x)有最大值3，则a的值为________．答案　1解析　令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，则解得a＝1.课时精练1．若m＝，n＝，则m＋n的值为(　　)A．－7B．－1C．1D．7答案　C解析　m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.2．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　)A.B．1C.D．2答案　D解析　由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝.当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当a＝时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．∴a＝2.13 3．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)答案　D解析　当a>1时，0<<1，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y＝ax－的图象由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度可得，故A，B错误；当0<a<1时，>1，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y＝ax－的图象由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度可得，故D正确，C错误．4．已知＝5，则的值为(　　)A．5B．23C．25D．27答案　B解析　因为＝5，所以＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23，所以＝x＋＝x＋x－1＝23.5．(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则(　　)A．2a＋2b>2B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1C．2a＋2b＝2D．a＋b<0答案　CD解析　画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错，C对．由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝2，所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错，D对．13 6．(2023·枣庄模拟)对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝x的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为(　　)A．(0,6]B．(0,20]C．[2,6]D．[2,20]答案　C解析　令x－1＝0得x＝1，y＝2，即函数图象必过定点(1,2)，所以m＝1，n＝2，f(x)＝x＝2x，由解得x∈[0,1]，g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x，令t＝2x，则y＝t2＋t，t∈[1,2]，所以g(x)的值域为[2,6]．7．计算化简：(1)＝________；(2)＝________.答案　(1)0.09　(2)解析　(1)＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.(2)＝＝＝8．已知函数f(x)＝3x＋1－4x－5，则不等式f(x)<0的解集是________．13 答案　(－1,1)解析　因为函数f(x)＝3x＋1－4x－5，所以不等式f(x)<0即为3x＋1<4x＋5，在同一平面直角坐标系中作出y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象，如图所示，因为y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象都经过A(1,9)，B(－1,1)，所以f(x)<0，即y＝3x＋1的图象在y＝4x＋5图象的下方，所以由图象知，不等式f(x)<0的解集是(－1,1)．9．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数．(1)求实数k的值；(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围．解　(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，经检验k＝2符合题意，∴k＝2.(2)f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，∵f(1)<0，∴a－<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1，从而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，不等式f(m2－2)＋f(m)>0可化为f(m2－2)>f(－m)，∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，解得－2<m<1，∴实数m的取值范围是(－2,1)．10．(2023·武汉模拟)函数f(x)＝a2x＋ax＋1(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数a的值．解　由f(x)＝a2x＋ax＋1，令ax＝t，则t>0，13 则y＝t2＋t＋1＝2＋，其对称轴为t＝－.该二次函数在上单调递增．①若a>1，由x∈[－1,1]，得t＝ax∈，故当t＝a，即x＝1时，ymax＝a2＋a＋1＝13，解得a＝3或a＝－4(舍去)．②若0<a<1，由x∈[－1,1]，可得t＝ax∈，故当t＝，即x＝－1时，ymax＝2＋＋1＝13.解得a＝或a＝－(舍去)．综上可得，a＝3或.11．(多选)(2022·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝a·|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(　　)A．a＋b＝0B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0C．若x<y<0，则f(x)<f(y)D．f(x)的值域为[0,2)答案　ABD解析　∵函数f(x)＝a·|x|＋b的图象过原点，∴a＋b＝0，即b＝－a，f(x)＝a·|x|－a，且f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，13 ∴b＝2，a＝－2，f(x)＝－2·|x|＋2，故A正确；由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x单调递减，故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误；∵|x|∈(0,1]，∴f(x)＝－2·|x|＋2∈[0,2)，故D正确．12．(2022·长沙模拟)若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为________．答案　1＋2ln2解析　依题意，ex＝ey＋e，ey>0，则e2x－y＝＝＝ey＋＋2e≥2＋2e＝4e，当且仅当ey＝，即y＝1时取“＝”，此时，(2x－y)min＝1＋2ln2，所以当x＝1＋ln2，y＝1时，2x－y取最小值1＋2ln2.13．(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为(　　)A．f(cx)≥f(bx)B．f(cx)≤f(bx)C．f(cx)>f(bx)D．f(cx)＝f(bx)答案　A解析　根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，则有＝1，即b＝2，又由f(0)＝3，得c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x，若x<0，则有cx<bx<1，而f(x)在(－∞，1)上单调递减，此时有f(bx)<f(cx)，若x＝0，则有cx＝bx＝1，13 此时有f(bx)＝f(cx)，若x>0，则有1<bx<cx，而f(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时有f(bx)<f(cx)，综上可得f(bx)≤f(cx)．14．(2023·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________．答案　解析　∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，∴＋m－1＝－－m＋1，∴2m＝－－＋2，构造函数y＝－－＋2，x0∈[－1,1]，令t＝，t∈，则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，在(1,3]上单调递减，∴当t＝1时，函数取得最大值0，当t＝或t＝3时，函数取得最小值－，∴y∈，又∵m≠0，∴－≤2m<0，∴－≤m<0.13