第二章　§2.7　指数与指数函数

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§2.7　指数与指数函数考试要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)()n＝a.当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝2．分数指数幂正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝－4.(　×　)(2)2a·2b＝2ab.(　×　)(3)函数y＝x－1的值域是(0，＋∞)．(　×　)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　)教材改编题1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　)A．不确定B．0C．1D．2答案　C解析　由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.2．计算：＝________.答案　1解析　原式＝＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.答案　2或解析　若a>1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期题型一　指数幂的运算例1　计算：(1)(－1.8)0＋－2·－＋；(2)(a>0，b>0)．解　(1)(－1.8)0＋－2·－＋＝1＋＝1＋2·2－10＋33＝1＋1－10＋27＝19.(2)＝＝2××8＝.思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1　计算：(1)；(2).成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解　(1)因为有意义，所以a>0，所以原式＝＝÷＝a÷a＝1.(2)原式＝＝10－1＋8＋23·32＝89.题型二　指数函数的图象及应用例2　(1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是(　　)A．a<bB．若a<0，则b<a<0C．|a|<|b|D．若0<a<log32，则ab<ba答案　BCD解析　如图，由指数函数的图象可知，0<a<b或者b<a<0，所以A错误，B，C正确；D选项中，0<a<log32⇒0<a<b<1，则有ab<aa<ba，所以D正确．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案　(0,2)解析　在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴b的取值范围是(0,2)．思维升华　对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2　(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期A．a>1B．0<a<1C．b>0D．b<0答案　BD解析　由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，∴0<a<1，故B正确；分析可知，函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象向左平移所得，如图，∴－b>0，∴b<0，故D正确．题型三　指数函数的性质及应用命题点1　比较指数式大小例3　设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则(　　)A．b<c<aB．c<a<bC．a<b<cD．b<a<c答案　D解析　b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b<a<c.命题点2　解简单的指数方程或不等式例4　(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是(　　)A．[2,4]B．(－∞，0)C．(0,1)∪[2,4]D．(－∞，0]∪[1,2]答案　D解析　∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期命题点3　指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．(1)求a的值；(2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．解　(1)f(x)＝×2x＋，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以×＋2x＝－，所以＝0，即＋1＝0，解得a＝－1.(2)因为f(x)＝－2x，x∈[1,2]，所以－22x≥m，所以m≥＋2x，x∈[1,2]，令t＝2x，t∈[2,4]，由于y＝t＋在[2,4]上单调递增，所以m≥4＋＝.思维升华　(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3　(1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝，下列说法正确的有(　　)A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的值域为(－1,1)D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期答案　AC解析　对于A中，由f(－x)＝＝－＝－f(x)，可得函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；对于C中，设y＝，可得3x＝，所以>0，即<0，解得－1<y<1，即函数f(x)的值域为(－1,1)，所以C正确；对于D中，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0，可得函数f(x)为减函数，而f(x)＝＝1－为增函数，所以D错误．(2)已知函数f(x)＝，若f(x)有最大值3，则a的值为________．答案　1解析　令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，则解得a＝1.课时精练1．若m＝，n＝，则m＋n的值为(　　)A．－7B．－1C．1D．7答案　C解析　m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.2．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　)A.B．1C.D．2答案　D解析　由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝.当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当a＝时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．∴a＝2.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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