2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第二章函数2.7指数与指数函数课件

§2.7指数与指数函数第二章　函　数 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 x根式aa 2.分数指数幂正数的正分数指数幂：＝______(a>0，m，n∈N*，n>1).正数的负分数指数幂：＝____＝(a>0，m，n∈N*，n>1).0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂没有意义.0 3.指数幂的运算性质aras＝；(ar)s＝；(ab)r＝(a>0，b>0，r，s∈Q).4.指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是___.ar＋sarsarbrR a>10<a<1图象定义域___值域__________(2)指数函数的图象与性质R(0，＋∞) 性质过定点，即x＝0时，y＝1当x>0时，；当x<0时，_______当x<0时，；当x>0时，_______在(－∞，＋∞)上是_______在(－∞，＋∞)上是_______(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增函数减函数 1.指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)函数y＝的值域是(0，＋∞).()(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.()×××× 1.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于A.不确定B.0C.1D.2√由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1. 2.计算：＝_____.原式＝＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.1 3.若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.若a>1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2； 探究核心题型第二部分 例1计算：题型一指数幂的运算 ＝1＋＝1＋1－10＋27＝19. (2)(a>0，b>0). (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.思维升华 跟踪训练1计算：(1)； (2)原式＝＝10－1＋8＋23·32＝89. 例2(1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是A.a<bB.若a<0，则b<a<0C.|a|<|b|D.若0<a<log32，则ab<ba题型二指数函数的图象及应用√√√ 如图，由指数函数的图象可知，0<a<b或者b<a<0，所以A错误，B，C正确；D选项中，0<a<log32⇒0<a<b<1，则有ab<aa<ba，所以D正确. (2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是_______.(0,2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴b的取值范围是(0,2). 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.思维升华 跟踪训练2(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是A.a>1B.0<a<1C.b>0D.b<0√√ 由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，∴0<a<1，故B正确；分析可知，函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象向左平移所得，如图，∴－b>0，∴b<0，故D正确. 命题点1比较指数式大小例3设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则A.b<c<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c题型三指数函数的性质及应用√b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b<a<c. 命题点2解简单的指数方程或不等式例4(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是A.[2,4]B.(－∞，0)C.(0,1)∪[2,4]D.(－∞，0]∪[1,2]√∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2. 命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数.(1)求a的值； 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， (2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围.令t＝2x，t∈[2,4]， (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断. 跟踪训练3(1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝，下列说法正确的有A.f(x)的图象关于原点对称B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的值域为(－1,1)D.∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0√√ 可得函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误； (2)已知函数f(x)＝，若f(x)有最大值3，则a的值为_____.1∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1， 课时精练第三部分 A.－7B.－1C.1D.71234567891011121314√基础保分练m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1. 2.已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为√1234567891011121314当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；∴a＝2. √1234567891011121314 1234567891011121314 因为＝5，所以＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23，4.已知＝5，则的值为A.5B.23C.25D.27√1234567891011121314 令g(x)＝|2x－a|，由题意得g(x)的值域为[0，＋∞)，又y＝2x的值域为(0，＋∞)，所以－a<0，解得a>0，所以a的取值范围为(0，＋∞).12345678910111213145.若函数f(x)＝|2x－a|－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a的取值范围为A.(－∞，0)B.(0，＋∞)C.(0,1]D.(1，＋∞)√ 6.(2023·枣庄模拟)对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为A.(0,6]B.(0,20]C.[2,6]D.[2,20]1234567891011121314√ 令x－1＝0得x＝1，y＝2，即函数图象必过定点(1,2)，所以m＝1，n＝2，1234567891011121314解得x∈[0,1]，g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x，令t＝2x，则y＝t2＋t，t∈[1,2]，所以g(x)的值域为[2,6]. 7.计算化简：(1)＝________；12345678910111213140.09 (2)＝________.1234567891011121314 8.若不等式成立，则实数a的取值范围是__________.1234567891011121314原不等式可化为2－2a－1<22(a－1)， 9.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数.(1)求实数k的值；1234567891011121314∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，经检验k＝2符合题意，∴k＝2. (2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围.1234567891011121314 1234567891011121314f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，∵f(1)<0，∴0<a<1，从而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，不等式f(m2－2)＋f(m)>0 1234567891011121314可化为f(m2－2)>f(－m)，∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，解得－2<m<1，∴实数m的取值范围是(－2,1). 因为x∈[0,3]，f(x)＝(2x)2－4·2x＋a＝(2x－2)2＋a－4，当2x＝2，即当x＝1时，函数f(x)取得最小值，即f(x)min＝f(1)＝a－4＝1，解得a＝5.10.已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1＋a，其中x∈[0,3].(1)若f(x)的最小值为1，求a的值；1234567891011121314 令t＝2x∈[1,8]，则f(x)＝t2－4t＋a，由f(x)≥33可得a≥－t2＋4t＋33，令g(t)＝－t2＋4t＋33，函数g(t)在[1,2)上单调递增，在(2,8]上单调递减，因为g(1)＝36，g(8)＝1，所以g(t)min＝g(8)＝1，所以a≥1.(2)若存在x∈[0,3]，使f(x)≥33成立，求a的取值范围.1234567891011121314 11.(多选)(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则A.2a＋2b>2B.∃a，b∈R，使得0<a＋b<1C.2a＋2b＝2D.a＋b<01234567891011121314综合提升练√√ 画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示.由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错，C对；1234567891011121314所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错，D对. 12.(2022·长沙模拟)若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为________.1＋2ln2依题意，ex＝ey＋e，ey>0，此时，(2x－y)min＝1＋2ln2，所以当x＝1＋ln2，y＝1时，2x－y取最小值1＋2ln2.1234567891011121314 13.(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为A.f(cx)≥f(bx)B.f(cx)≤f(bx)C.f(cx)>f(bx)D.f(cx)＝f(bx)1234567891011121314√拓展冲刺练 1234567891011121314根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，又由f(0)＝3，得c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x，若x<0，则有cx<bx<1，而f(x)在(－∞，1)上单调递减，此时有f(bx)<f(cx)， 1234567891011121314若x＝0，则有cx＝bx＝1，此时有f(bx)＝f(cx)，若x>0，则有1<bx<cx，而f(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时有f(bx)<f(cx)，综上可得f(bx)≤f(cx). 14.(2023·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是__________.1234567891011121314 ∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，∴＋m－1＝－－m＋1，∴2m＝－－＋2，构造函数y＝－－＋2，x0∈[－1,1]，1234567891011121314 在(1,3]上单调递减，∴当t＝1时，函数取得最大值0，1234567891011121314 1234567891011121314