2025年高考数学一轮讲义第2章 第8课时　对数与对数函数

第8课时　对数与对数函数[考试要求]　1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3．了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作______________，其中__叫做对数的底数，__叫做真数．以____为底的对数叫做常用对数，log10N记为_______．以__为底的对数叫做自然对数，logeN记为_______．2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝__，logaa＝__(a＞0，且a≠1)．(2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝______________________；②logaMN＝______________________；③logaMn＝____________(n∈R)．(3)对数恒等式：alogaN＝__(a>0，且a≠1，N>0)．(4)换底公式：logab＝logcblogcaa>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1.3．对数函数(1)一般地，函数______________(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是____________．(2)对数函数的图象与性质项目a>10<a<17/7 图象定义域____________值域R性质过定点__________，即x＝1时，y＝0当x>1时，______；当0<x<1时，______当x>1时，______；当0<x<1时，______在(0，＋∞)上是__函数在(0，＋∞)上是__函数4．反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称．[常用结论]1．换底公式的三个重要结论(1)logab＝1logba；(2)logambn＝nmlogab；(3)logab·logbc·logcd＝logad．(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；d＞0)2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log2x2＝2log2x．(　　)(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)7/7 (3)函数y＝ln1+x1-x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　)(4)函数y＝log2x与y＝log121x的图象重合．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P140习题4.4T1改编)函数y＝log232x-1的定义域是________．2．(人教A版必修第一册P135练习T2改编)比较下列两个值的大小：(1)log0.56________log0.54；(2)log213________log123.3．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(log43＋log83)·log32＝________．4．(人教A版必修第一册P141习题4.4T12改编)若loga23＜1，则实数a的取值范围是________．考点一　对数的运算[典例1]　(1)(2023·山东济宁嘉祥一中三模)若2m＝3n＝k且1m+1n＝2，则k＝(　　)A．5　　B．6　C．5　　D．6(2)化简：(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．[跟进训练]1．(1)(2023·山东威海二模)已知2a＝9，log83＝b，则ab＝(　　)A．23　　　　B．27/7 C．6　D．9(2)计算：lg25＋lg50＋lg2×lg500＋(lg2)2＝________．考点二　对数函数的图象及应用[典例2]　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)A．0<a-1<b<1B．0<b<a-1<1C．0<b-1<a<1D．0<a-1<b-1<1(2)当0＜x≤12时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)A．0，22　B．22，1C．(1，2)　D．(2，2)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[拓展变式]　将本例(2)中“4x＜logax”变为“关于x的方程4x＝logax有解”，则a的取值范围是________．　对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[跟进训练]2．(1)(多选)若函数f(x)＝ax-2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　)7/7 A　　　　　　　　　BC　　　　　　　　　D(2)已知函数f(x)＝|lnx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．考点三　对数函数的性质及应用　比较大小[典例3]　(1)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a＞b＞c　B．b＞a＞cC．c＞b＞a　D．c＞a＞b(2)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2<0，则下列关系中正确的是(　　)A．a<b<c　B．b<a<cC．c<b<a　D．a<c<b[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解与对数有关的不等式[典例4]　(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)A．[1，2]　B．0，12C．12，2　D．(0，2](2)设函数f(x)＝log2x,x＞0,log12(-x),x＜0.若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1，0)∪(0，1)　B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)7/7 C．(－1，0)∪(1，＋∞)　D．(－∞，－1)∪(0，1)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对数函数性质的综合应用[典例5]　(1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)A．[1，2)　B．[1，2]C．[1，＋∞)　D．[2，＋∞)(2)(多选)已知函数f(x)＝ln2x+12x-1，下列说法正确的是(　　)A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)在12，+∞上单调递减D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)(3)已知函数f(x)＝lneax+1－x是偶函数，则实数a的值为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求与对数函数有关的复合函数的单调性、值域问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．[跟进训练]3．(1)(多选)(2024·忻州模拟)已知x＞0，y＞0，且x－y＞lnyx，则(　　)A．x＞y　B．x＋1y＞y＋1xC．ln(x－y)＜0　D．12x＜2－y(2)(多选)(2024·浙江杭州模拟)已知函数f(x)＝ln(x2＋x＋m)(m∈R)，则(　　)A．当m>14时，f(x)的定义域为RB．f(x)一定存在最小值C．f(x)的图象关于直线x＝－12对称D．当m≥1时，f(x)的值域为R7/7 (3)已知函数f(x)＝ln(1+x2－x)＋2，则f(lg3)＋flg13＝________．(4)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝________．7/7